Au
bonheur des hippocampes,
bac Asie 2024
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On
s'intéresse à la régulation de la température d'un aquarium. Il est
fermé par un couvercle. Les parois et le couvercle sont en plexiglass.
La température de la pièce où il se trouve est maintenue à 20°C. L'eau
de l'aquarium doit rester à 26°C.
Hauteur H = 0,40 m ; largeur : L = 0,60 m ; profondeur P = 0,40 m. épaisseur paroi e = 8,0 mm.
Conductivité thermique du plexiglass : l =0,17 W m-1 K-1.
On souhaite déterminer la puissance du système électrique pour
maintenir la température de l'eau. Les pertes thermiques se font à
travers les parois de l'aquarium.
1. Nommer les trois modes de transfert thermique.
Conduction, convection et rayonnement.
2. Indiquer la température la plus basse de l'eau en absence de chauffage.
Au bout d'un temps suffisamment long, l'eau atteint la température de la pièce en absence de chauffage.
On va étudier la contribution de la conduction thermique au travers des parois et du couvercle.
3. Montrer que la résistance thermique totale de l'aquarium est Rth ~4,6 10-2 K W-1.
Surface du couvercle : LP = 0,60 x0,40 = 0,24 m2.
Surface latérale : 2(L+P)H =0,80 m2.
Surface totale S = 1,04 m2.
RTH =e / (l S) = 8 10-3 /(1,04 x0,17)~ 4,6 10-2 K W-1.
4. En déduire que la puissance thermique Pth que le système de chauffage doit apporter est 130 W. .
Pth = Dq / Rth = (26-20) / (4,6 10-2) =130 W.
En période estivale, durant la journée, on place l'aquarium devant une
fenètre exposée au soleil. Le chauffage électrique ne fonctionne pas.
La puissance thermique d'origine solaire, absorbée par l'eau est
d'environ Ps = 30 W.
5. Comment va évoluer la température de l'eau au cours de la journée ?
Ps est inférieure à PTh, la température de l'eau va baisser.
6. Lister les puissances thermiques échangées par le système et son environnement à l'instant t.
Puissance reçue par le soleil ; puissance perdue par conduction à travers les parois.
On donne l'équation dynamique du système :
m c dq(t) /dt +q(t)/Rth = qair /Rth +Ps.
Solution de cette équation : q(t) = q0 exp(-t / t) +(qair+Rth Ps)(1-exp(-t / t) avec t = m c Rth.
m = 100 kg ; c = 3930 kg-1 K-1 .
7. Estimer la valeur de t.
100 x3930 x0,046=18 216 s ou environ 5 heures.
8. Déterminer la valeur de la température finale si on attend suffisamment longtemps.
Le terme en exponentielle tend vers zéro.
q(t) =qair+Rth Ps=20 +0,046 x30=21,4 °C.
Il n'est pas possible d'utiliser uniquement le soleil pour maintenir en journée la température de l'aquarium entre 24 et 28°C.
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