Mathématiques, concours IESSA 2023 2023.

Soit le signal de période , défini sur R par :
s(t) = 1 si t appartient à [0 ; 1/3[ et s(t) = 0 si t appartient à[1/3 ; 1[.
Question 1.
Pour tout réel , le signal périodique r de période T = 6, représenté vérifie :

A) r(t) =2s(t/6+1)-1 ; B. r(t) =2s(t+1) / 6-1 ; C. r(t) =2s(t+1)/6-2 ; D. r(t) =2(s(t/6+1)-1).
r(t) = 1 si t appartient à [0 ; 1] et [5 ; 6].
r(t) = -1 si t appartient à [1 ; 5]. Répondre E.

Question 2.
La valeur moyenne de r(t) est égale à :

Réponse D.

Question 3. La valeur efficace de r(t) est égale à :

Réponse A.

Question 4. Soit w = 2p / T ; pour n > 1 le calcul de a_n donne :

Question 5.
La décomposition de Fourier de r(t) s'écrit :
a₀ = r_moy = -1/3.
b_n =0, la fonction étant paire ; a_n ( voir question 4).

Soient les nombres complexes z₁ = 3-3i ; z₂ = -3^½ +i.

Question 6.
Une forme exponentielle de z₁ est :
|z₁| =[3² +(-3)² ]^½ =3 * 2^½.
z₁ / |z₁| = 1/2^½- i /2^½ = cos ( -p /4) +i sin (- p /4))=exp( -i p /4)
z₁ = 3 * 2^½exp( -i p /4). Réponse D.

Question 7.
Une forme exponentielle de z₂ est :
|z₂| =[3 +1² ]^½ =2.
z₂ / |z₂| = -3^½/2 + i /2 = cos ( 5p /6) +i sin ( 5p /6))=exp( i 5p /6)
z₂ = 2 exp( i 5p /6). Réponse C.

Question 8.
Une forme exponentielle de z₁ z₂ est :
2x 3 * 2^½exp( -i p /4 + i 5p /6 ) =6 * 2^½exp( i 7 p /12 ). Réponse B.

Question 9.
Une forme algébrique de z₁ z₂ est :
(3-3i) ( -3^½ +i ) = -3 *3^½ +3 i +3 *3^½ i -3i² =3-3 *3^½ +i(3 +3 *3^½). Réponse C.

Question 10.
De ces calculs on déduit que :
z₁ z₂ =6 * 2^½exp( i 7 p /12 ) =3-3 *3^½ +i(3 +3 *3^½).
cos (7p / 12) =(3-3 *3^½) / (6 * 2^½)=(1-3^½) / (2 * 2^½) =(2^½-6^½) / 4.
sin (7p / 12) =(3+3 *3^½) / (6 * 2^½)=(1+1 *3^½) / (2 * 2^½) =(2^½+6^½) / 4.
Or : cos (7p / 12) = - cos(19p / 12) ; sin (7p / 12) = - sin(19p / 12).
Réponse D.