On modélise le densimètre par une tige cylindrique
de rayon a, de hauteur H et d’une boule lestée de rayon R. L’ensemble
présente une masse m.
Lorsque le densimètre est plongé dans un liquide au repos de densité d,
une certaine hauteur h dépasse du liquide. On peut alors lire
directement la densité sur l’échelle graduée.
On désire ici faire le lien entre h et d
On note g l’accélération de pesanteur.
Pour les applications numériques on prendra :
a = 5 mm, H = 30 cm, R = 2 cm, g = 10 m.s
-2 et m = 20 g.
Q1) Exprimer le
volume V, la masse volumique
r0
et le poids P du densimètre en fonction des paramètres du modèle.
Calculer la densité d
0 du densimètre.
V = 4 / 3
p R
3
+
pa
2H=4
/ 3 x3,14 x0,02
3 +3,14 x0,005
2 x0,30 =3,35 10
-5
+2,36 10
-5 =5,7 10
-5 m
3.
r0 = m / V
= 0,020 / (5,7 10-5) ~350 kg m-3. P = m g = 0,020
x10 = 0,20 N..
d0 =
r0
/ reau
=350 / 1000 = 0,35.
Q2) Énoncer le
théorème d’Archimède.
Un corps immergé dans un fluide
(liquide ou gaz), subit de la part du fluide des forces dont la
résultante est :
verticale vers le haut
appliquée au centre du volume de liquide déplacé
norme : volume liquide déplacé(m3)* masse volumique du
liquide(kgm-3)*9,8
Q3) Quelle est la
masse volumique de l’eau
re
et de l’air
ra ?
Justifier que l’on puisse négliger l’action de l’air.
re =1000 kg m-3
; ra =1,3 kg
m-3~ re /800.
La masse volumique de l'air étant très inférieure à celle de l'eau,
l'action de l'air est négligeable.
Q4) Le
densimètre flotte dans le moût de masse volumique
rm . Exprimer la
poussée d’Archimède en fonction de
rm,
g, V, h et a.
F
m =
rm
g [4 / 3 p R3 +pa2(H-h)].
Fm =rm g (V -pa2h).
Q5) On plonge le
densimètre dans de l’eau à 20°C. On note h
0 la hauteur
immergée. Faire un schéma détaillé avec les différentes forces
appliquées, leurs points d’application et la hauteur h
0.
Le densimètre est en équilibre sous l'action de son
poids ( appliqué au centre de gravité) et de la poussée d'Archimède (
appliquée au centre du volume d'eau déplaccé)
P = m g ;
Feau =re
g [4 / 3 p R3 +pa2h0]=re g [4 / 3 p
R3 + pa2H
-pa2H+pa2h0]=re g [V -pa2H+pa2h0].
Quelle est la lecture de la densité spécifique ?
La densité spécifique de l'eau est égale à 1000.
Quelle est l’importance de la boule lestée ?
Le centre de gravité étant très en dessous du centre de poussée, le
densimètre reste vertical.
Q6) Établir la
relation reliant h, h
0,
rm,
r0 et
re.
En déduire la relation reliant h- h
0 à la densité d
m
du moût, la
densité d
0 du densimètre et à h
0.
Commenter le résultat précédent par rapport à la nature de l’échelle.
Feau =re
g [V -pa2H+pa2h0] = poids du densimètre.
Fm=Feau
=poids
du densimètre.
re [V -pa2H+pa2h0] = m=r0V.
V -pa2H+pa2h0 =r0 / reV.
pa2h0 = V(r0
/ re-1)+pa2H.
h0 = V(r0 / re-1)/ (pa2) +H.
rm (V -pa2h)= m=r0V.
V -pa2h
=r0 / rm V.
pa2h
=V(1-r0
/ rm ).
h =V(1-r0 / rm )/ (pa2).
Plus il y a de
sucre dans le moût, moins le densimètre s'enfonce et vice-versa.
Q7) On effectue un développement
limité de d
m. On pose d
m=1+
d.
Montrer que
h- h0=d
0h
0d
/(1-d
0).
Commenter.
Si
on prend h
0 = 2 cm, calculer h dans le cas de la photo de la
figure
c ( densité spécifique 69). Ce résultat vous semble-t-il cohérent ?