QCM mathématiques, concours Advance 2023. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... Question 1 Soit (un) une suite géométrique de raison 2 telle que u2 = 1. Alors a. u7 = 32 vrai; b. u7 = 64;  c. u7 = 128 ; d. u7 = 16 ; e. rien de ce qui précède. u2 = 2 u1 ; u1 =0,5 ; u1 = 2 u0 ; u0 =0,25 ;  u7 = 27 u0=32.  Question 2 Soient A et B deux événements d’un univers W de probabilité non nulle. Alors PA(B) est égale à : a. P(A ∩ B)/ P(B) ; b. P(A ∩ B) / P(A) vrai ; c. P(A ∩ B) si A et B sont indépendants ; d. P(A) si A et B sont indépendants ; e. rien de ce qui précède.  Question 3 La limite en plus l'infini de  (3x2 + x − 2 ) / (x2 − ex + 1) est égale à : a. 0 vrai ; b. +∞ ; c. 3;  d. −2 ; e. 1. (x2(3+1/x-2/x2)] / [x2(1-ex/x2+1/x2) ] = (3+1/x-2/x2) / (1-ex/x2+1/x2). En plus l'infini : 1/x, 1/x2 tendent vers zéro;  -ex/x2 tend vers moins l'infini 3 / (-ex/x2 ) tend vers zéro. Question 4 Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une solution de l’équation différentielle 2y′ − y = x − 1 : a.  e2x − x − 1 ; b.  x − 1 ; c.  1 − x ; d.  e2x ;  e. rien de ce qui précède vrai. Solution générale de 2y'-y=0 : y = Ae0,5x avec A une constante. Solution particulière : y = -x-1. Solution générale y = Ae0,5x -x-1. Question 5 Soit f (x)= (x2-x+2)½. Alors le domaine de définition de f est:  a. R vrai ; b. [−1, 2] ; c. ]−∞, −1] ∪ [2, +∞[ ; d. ∅ ; e. rien de ce qui précède. x2-x+2 > 0 ; D = (-1)2-4*2 = -7 < 0, aucune racine réelle. Question 6 Soit f (x) =ln9(x). Alors pour tout x > 0 , f ′ (x) est égale à : a. 9 ln8(x) ; b. 1/ x9 ;  c. 9 /x8;  d. 9 ln(x) ; e. rien de ce qui précède vrai. On pose u = ln(x) ; dérivée de u9 =9 u' u8=9ln8(x) / x. Question 7 Soit F une primitive d’une fonction f continue sur [−1, 1]. Alors  a. f ′ = F ; b. F′ = f vrai ; c. F(−1) = f(−1) et F(1) = f(1) d. F(−1) = F(1) = 0 ; e. rien de ce qui précède. Question 8 Dans une jeu de 32 cartes, on tire une main de 6 cartes (on rappelle que dans une main, l’ordre des cartes ne compte pas). Alors le nombre de mains possibles est a. 632;  b. 326;  c. (32 6) vrai ;  d. 32! / 6! e. rien de ce qui précède. Question 9 Soit (un) une suite réelle. Alors a. si (un) est décroissante et minorée, (un) converge vrai b. si (un) est bornée, (un) converge c. si (un) est croissante et majorée, (un) converge vrai ; d. si (un) est croissante et non majorée, (un) diverge vrai ; e. rien de ce qui précède. Question 10 Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère la droite d passant par A(2, −1, 1) et de vecteur directeur u(1 ; 2 ;−5 ) . Alors  a. B(0, −2, 1) ∈ d ; b. B(0, 1, −2) ∈ d ; c. B(3, 1, −4) ∈ d vrai ; d. B(1, −3, −6) ∈ d ; e. rien de ce qui précède. Equation paramétrique de d : x = t+2 ; y = 2t-1 ; z = -5t+1 avec t réel. xB = t+2=0 ; t= -2 ; alors yB = -4-1 = -5. B(0, −2, 1) n'appartient pas à d. xB = t+2=3 ; t= 1 ; alors yB = 2-1 =1 et zB =-5+1=-4 ;  B(3, 1, −4) appartient  à d. xB = t+2=1 ; t= -1 ; alors yB = -2-1 =-3 et zB =5+1=6 ;  B(1, -3, −6) n'appartient  pas à d. Question 11 Une primitive de la fonction f(x)= ln(x) sur ]0 ; +oo[ est a. F(x)= x ln(x) − x vrai ; b. F(x)=1/ x ; c.F(x)= ex ; d. F(x)= ln(x) ; e. F(x)= 1/ ln(x). on dérive F(x)=x ln(x) − x. On pose u = x, v = ln(x) ; u' = 1 ; v' = 1/x. u'v+v'u =ln(x)+1 ; F '(x) = ln(x) +1-1=ln(x). Question 12 Soit f(x)= (x2+x-20)½ ln(1-x2) . Alors le domaine de définition de f est  a. ]−1, 1[  ; b. ]−∞, −5] ∪ [4, +∞[ ; c. ∅ vrai;  d. ]−5, 4[ ; e. rien de ce qui précède . 1-x2> 0 ; x doit appartenir à  ]-1 ; +1[. x2+x-20 > 0 ; D =12+80=81=92. Solutions x =(-1 ±9) / 2 soit 4 et -5. x doit appartenir à ]−∞, −5] ∪ [4, +∞[ . Question 13 La limite en moins l'infini de  (x2 + x − 7) / ( 1 − x) est égale à a. −∞ ; b. 1 ; c. −1;  d. +∞ vrai ; e. rien de ce qui précède x(x+1-7/x) / (x(1/x-1)]= (x+1-7/x) / ((1/x-1). En moins l'infini : -7/x et 1/x tendent vers zéro. Question 14 Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points A(1, −1, 2) et B(2, 1, −1). Alors une équation cartésienne du plan P orthogonal à la droite (AB) passant par C(3, 3, −4) est : a. x + 2y − 3z + 21 = 0 ; b. x + 2y − 3z + 15 = 0 ; c. x + 2y − 3z − 15 = 0 ; d. x + 2y − 3z − 1=0 ; e. rien de ce qui précède Coordonnées du vecteur AB: (1 ; 2 ; -3), vecteur orthogonal au plan P. Equation cartésienne de ce plan P : x+2y-3z+d=0. C (3 ; 3 ; -4) appartient à P : 3+6+12+d=0 ; d = -21. Question 15 Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une solution de l’équation différentielle 3y′ − y = 2 − x :  a. f(x)= ex/3 + x + 1 vrai ; b. f(x)= 2 − x ; c. f(x)=−1 − x ; d. f(x)= e3x ; e. rien de ce qui précède. Solution générale de 3y'-y =0 : y = A ex/3 avec A une constante. Solution particulière de 3y′ − y = 2 − x : y = ax +b ; y' = a ; 3a-ax-b=2-x ; on identifie a = 1 ; b=1. Solution générale : y = Aex/3 +x+1. Question 16 Soit f(x)= exp(x2)/ x . Alors pour tout x ∈ R∗, f ′ (x) est égale à  a. (2x − 1)exp(x2) / x2 ; b. exp(x2) ; c. (x − 1)exp(x2) / x2 ; d. (2x2 − 1)exp(x2) / x2 vrai e. rien de ce qui précède. On pose u = exp(x2); v = x ; u' =2x exp(x2) , v' = 1. (u'v-v'u) / v2 =( 2x2 exp(x2)-exp(x2)) / x2 =(2x2 − 1)exp(x2) / x2. Question 17 Le nombre de façons de prélever simultanément 2 cartes parmi 4 est : a. 8 ; b. 6 vrai ; c. 12 ; d. 16 ; e. rien de ce qui précède. (42)=4 x3 /2=6. Question 18 Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère le point A(2, −1, 1) et le vecteur u( 1; 2 ;−5 ) . Alors une représentation paramétrique de la droite d passant par A et de vecteur directeur u est  : x = t+xA = t+2 ; y = 2t+yA =2 t-1 ; z = -5t+zA = -5t+1 avec t réel. Réponse a. a.    x =2+ k y = −1+2k z = 1 − 5k ; k ∈ R b.    x =1+2k y = 2 − k z = −5 + k ; k ∈ R c.    x = −2 + k y =1+2k z = −1 − 5k ; k ∈ R d.    x = 2 − k y = −1 − 2k z =1+5k ; k ∈ R e. rien de ce qui précède. Question 19 Soient (un) et (vn) deux suites réelles quelconques. Alors  a.  (un) converge et (vn) converge entraîne  (un + vn) converge. Vrai.  b.  (un) diverge et (vn) diverge entraîne (un + vn) diverge. ( on ne peut rien dire) c. (un) converge et (vn) diverge entraîne (un + vn) diverge. Vrai. . d. (un) diverge et (vn) converge entraîne (un + vn) converge. e. rien de ce qui précède Question 20. En plus l'infini, la limite de (2x2+x+1) / (1-x+5x2) est égale à :  a. 0 ; b. +∞ ; c. 2 ; d. 1 ; e. rien de ce qui précède. Vrai. x2[2+1/x+1/x2] / [x2(1/x2-1/x+5)]=[2+1/x+1/x2] / [1/x2-1/x+5]. 1/x et 1/x2 tendent vers zéro. La limite vaut 2 /5. Question 21 Soit f(x)=(ex+x)5. Alors, pour tout x ∈ R, f ′ (x) est égale à a. 5(ex+x)4 ; b. 5(ex+1)4 ; c. 5(ex+x)4 (ex+1) vrai ; d 5(ln(x)+1)4 ; e : rien de ce qui précède. On pose u = ex+x ; u' = ex+1. dérivée de u5 : 5u' u4 =5(ex+1)(ex+x)4. Question 22 Une primitive de f(x)= 1 / ln(x) sur ]1, +∞[ est a. F(x)= ln( ln(x))  b.F(x)= ½ ln2(x) ; c.F(x)= x / ln(x) ; d. F(x)= ln(x) / x  e. rien de ce qui précède vrai . On dérive : a.  u = ln(x) ; u' = 1 /x ; dérivée de ln(u) = u' /u =1/(x ln(x)). b. u = ln(x) ; u' = 1 /x ; dérivée de ½u2=u' u =ln(x) / x. c. u=x ; v = ln(x) ; u'=1 ; v' = 1/x ; (u'v-v'u) / v2 =(ln(x)-1) / (ln(x)2). d. u =ln(x) ; v = x ; u'=1/x ; v' = 1 ; ( u'v-v'u) /v2 =(1-ln(x)) /x2. Question 23 Soit f(x)= ln (−x2 + x − 2)  . Alors le domaine de définition de f est  a. [−1, 2] ; b. R∗ + ; c. ]−∞, −1] ∪ [2, +∞[ ; d. ∅ vrai; e. rien de qui précède. −x2 + x − 2 doit être positif. Solutions de −x2 + x − 2 =0 ; D = 12 -8=-7, aucune solution réelle. −x2 + x − 2 < 0.  Question 24 Le nombre de façons de ranger 3 objets distincts dans 5 tiroirs sachant qu’un tiroir ne peut contenir qu’un seul objet est a. 15 ; b. 60 vrai ; c. 120 ; d. 125 ; e. rien de ce qui précède. p! /(p-n)! =5 x4x3x2 / 2=60. Question 25 Soit (un) une suite géométrique de raison q différent de 1. Alors u1 + u2 + ··· + un est égale à a. u1 (1 − qn−1 ) / (1 − q) ;  b. u1 (1 − qn−2 ) / (1 − q)  ;  c. u1 (1 − qn−3 ) / (1 − q) ;  d. u1 (1 − qn ) / (1 − q) vrai ; e. rien de ce qui précède Question 26 Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points A(1, −1, 2) et B(2, 1, −1). Alors une équation paramétrique de la droite (AB) est : Coordonnées du vecteur AB: ( 1 ; 2 ; -3).Equation paramétrique de cette droite : x = k+xA=k+1 ; y = 2k+yA=2k-1 ; z = -3k+zA= -3k+2 avec k réel. Réponse B.  Question 27. Soient A et B deux événements indépendants quelconques. Alors a. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) ;  b. P(A ∪ B) = P(A)P(B) ; c. P(A ∩ B) = P(A) + P(B) ; d. P(A ∩ B) = P(A)P(B) vrai ;  e. rien de ce qui précède  Question 28 Soit f(x)= sin(x) cos(x). Alors une primitive de f sur R est a. F(x)= ½ cos2(x) ; b. F(x) =½ sin2(x) Vrai ; c. F(x)= cos( sin(x))  ; d. -½sin2(x) ;  e. rien de ce qui précède. f(x) = ½sin(2x) ; F(x) = -0,25 cos(2x)= -0,25(cos2(x) -sin2(x)) =-0,25(1-2sin2(x) = ½sin2(x) -0,25. On dérive ½ cos2(x) en posant u = cos(x) ; u' = -sin(x). dérivée de ½u2 =u u'= -cos(x) sin(x). Réponse F(x)= -½ cos2(x). Question 29 La limite en moins l'infini de  2xe−x est égale à a. −∞ vrai ; b. +∞ ;  c. 0 ; d. 1 ; e. rien de ce qui précède. e-x tend vers plus l'infini ; x tend vers moins l'infini ;par produit des limites 2xe−x tend vers moins l'infini. Question 30 Soient A et B deux événements incompatibles quelconques. Alors a. P(A ∪ B) = P(A)P(B) ;  b. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) vrai; c. P(A ∩ B) = P(A) + P(B) ; d. P(A ∩ B) = P(A)P(B) ... .... Question 31 Soit (un) définie pour tout n ∈ N par  . Alors la limite de (un) lorsque n tend vers l’infini est a. 0  ; b. 1 ; c. 2 vrai ; d. +∞ ; e. 1/ 2. Somme des termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 0,5 : (1-0,5n+1 ) / 0,5  ; 0,5n+1 tend vers zéro si n tend vers plus l'infini. (1-0,5n+1 ) / 0,5  tend vers 2. Question 32 Soit f(x)= (ln(x))½. Alors, pour tout x ∈]1, +∞[,f ' (x) est égale à : On pose u = ln(x) ; u' = 1 /x ; dérivée de u½ : ½u' u-½ =1 /(2x(ln(x)½). Réponse c. Question 33 Soit f(x)= ln(1 − x) / ln(2 − x) . Alors le domaine de définition de f est a. ]1, +∞[ ; b. ]2, +∞[ ; c. ]−∞, 2[ ; d. ]−∞, 1[ vrai ; e. rien de ce qui précède. 1 − x >0 soit x < 1 et 2-x > 0 soit x < 2. Question 34 Soit (un) une suite réelle convergeant vers −1. Alors  a. un − 1 -->0 si n --> +oo ;  b.  |un − 1|-->0 si n --> +oo ; c. |un|  -->1  si n --> +oo ; vrai ; d. (un) est bornée vrai ; e. rien de ce qui précède un tend vers -1 si n tend vers plus l'infini ; |un| -->1  si n --> +oo.    Question 35 Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres (n, p). Alors a. E(X) = np vrai ;  b. E(X) = n / p ; c. V (X) = n(1 − p) ; d. V (X) = np (1 − p) vrai ; e. rien de ce qui précède. Question 36 Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une solution de l’équation différentielle y′ − y = x − 3 : a. f(x)= ex + x − 3 ; b. f(x)= x − 3 ; c. f(x)= 2 − x vrai ; d. f(x)= ex ; e. rien de ce qui précède. Solution générale de y'-y=0 : f(x) =A ex avec A une constante. Solution particulière y = ax+b ; y' = a. a-ax-b= x-3 ; on identifie : a = -1 ; b=2. Solution générale : f(x) = A ex-x+2.  Question 37 Soit (un) définie par u0 = 1 et pour tout n ∈ N, un+1 = 2un + 3. Alors la suite (vn) définie pour tout n ∈ N par vn = un − ℓ est géométrique de raison 2 si a. ℓ = 1 ; b. ℓ = −3 vrai ; c. ℓ = 2 ; d. ℓ = 3 ; e. rien de ce qui précède. vn+1 = un+1 − ℓ =2un + 3− ℓ = 2(un+(3-l)/2]. (3-l)/2=-l ;  3-l= -2l ; l = -3. Question 38 Soit f la fonction définie sur R par f(x) = −4x3 + 6x2 + 8. La primitive de f sur R qui vaut 2 en 0 est a. −16x4 + 18x3 + 8x + 1 ; b. −x4 + 2x3 + 8x + 10 ; c. −x4 + 2x3 + 8x + 2 vrai ; d. −x4 + 2x3 + 8x;  e. rien de ce qui précède. F(x) = -x4+2x3+8x +Cste. F(0) =Cste = 2. Question 39 Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère la droite d de vecteur directeur u( 1 ; −1 ; 3 ) passant par A(2, 1, 0) et la droite d′ de vecteur directeur v (−2 ;−2 ;−1 ) passant par B(1, −2, 2). Alors d et d′ sont sécantes de point d’intersection a. M(1, −1, 2) ; b. M(1, 1, −2) ; c. M(3, 0, 3) vrai ; d. M(2, 1, −3) ; e. rien de ce qui précède. Equation paramétrique de (d) : x = t+2 ; y =-t+1 ; z = 3t avec t réel. Equation paramétrique de (d') : x = -2k+1 ; y = -2k-2 ; z = -k+2 avec k réel. M appartient aux deux droites : xM =t+2= -2k+1 ; t = -2k-1. yM = -t+1= -2k-2 ; 2k+2 = -2k-2 soit k = -1 et t = 1. xM =3 ; yM = 0 ; zM =3. Question 40 Soit f(x)= (1 − ln(x))½. Alors le domaine de définition de f est a. R∗ + ; b. ]e, +∞[ ; c. ]1, +∞[ ; d. ]−∞, e] ; e. rien de ce qui précède vrai. Fonction logarithme : x appartient à ]0 ; +oo[. Racine carrée  : 1-ln(x) > 0 ; 1 > ln(x) ; e > x ; x appartient à ]0 ; e]. Question 41 Soit f (x)= (x2 − 3x − 2 ) / (x2 − 3x + 2). Alors pour tout x ∈]2, +∞[, f ′ (x) est égale à : On pose u = x2-3x-2 et v = x2-3x+2. u' = 2x-3 ; v' = 2x-3. (u'v-v'u) / v2 =(2x-3)( x2-3x+2-x2+3x+2) / (x2 − 3x + 2)2 =4(2x-3) / (x2 − 3x + 2)2 . Réponse d. Question 42 Une primitive de f(t) = 3t / (t2 + 1)½ sur R est : On pose u = t2+1 ; u' = 2t ;  f(u) =1,5 u'  u-½. F(u) =3 u1/2. F(t) =3(t2+1)1/2. Réponse a. Question 43 Soit (un) la suite définie par la donnée de u0 et, pour tout n ∈ N∗, un = 3un−1 + 1. Alors a. la suite (vn) définie pour tout n ∈ N par vn = un + 1 est géométrique. vn = un + 1= 3un−1 + 2 diffère de 3(un-1+1)=3 vn-1.  b. la suite (vn) définie pour tout n ∈ N par vn = un − 1 est géométrique. vn = un - 1= 3un−1  diffère de 3(un-1-1)=3 vn-1.  c. pour tout n ∈ N, un = 3nu0 . La suite (un) n'est pas géométrique. d. la suite (vn) définie pour tout n ∈ N par vn = un − 0,5 est géométrique vn = un - 0,5= 3un−1 + 0,5 diffère de 3(un-1-0,5)=3 vn-1. e. la suite (vn) définie pour tout n ∈ N par vn = un + 0,5 est géométrique. Vrai. vn = un + 0,5= 3un−1 + 1,5 = 3(un-1+0,5)=3 vn-1. Question 44 La limite en plus l'infini de f(x) = (x − x½) /  (3 − ln(x))  est égale à a. 0 ; b. +∞; c. −∞ vrai; d. 1 ;e. rien de ce qui précède. x(1-x-½) / [x(3 /x -ln(x) / x)] =(1-x-½) / (3 /x -ln(x) / x) . En plus l'infini :  x-½ , 3/x et ln(x) / x tendent vers zéro ; 3 /x < ln(x) / x) f(x) tend vers moinss l'infini. Question 45 Soient A et B deux événements quelconques de probabilités non nulles. Alors  a. PA(B) = PB(A) ; b. PA(B) = PB(A)P(A) /P(B) ; c. P(A ∩ B) = PB(A)P(B) vrai ; d. PA(B) = PB(A)P(B) / P(A) vrai ; e. rien de ce qui précède. PA(B) = P(A ∩ B) / P(A). PB(A) = P(A ∩ B) / P(B). P(A ∩ B) =P(B)   PB(A) =P(A) PA(B) . PA(B) =P(B)   PB(A) / P(A). Question 46 Soit f(x)= ln(x) / (x-2)½ . Alors le domaine de définition de f est a. R∗ + ;  b. ]2, +∞[ vrai; c. R ; d. ∅ ; e. rien de ce qui précède. ln(x) est défini sur ]0 ; +oo[ ; 1 /(x-2)½ est défini sur ]2 ; +oo[. Question 47 Une primitive de f(x)= exp(x2) sur R est a. F(x)= exp(x2) ;  b.F(x)= 2exp(x2);  c.F(x)=  2x exp(x2) ;d. F(x)=  exp(x3/3) e. rien de ce qui précède. Vrai. On dérive F(x) = exp(x2 ); F '(x) = 2x exp(x2 ) On dérive F(x) = exp(x3/3 ); F '(x) = x2 exp(x3/3 ). On dérive F(x)=  2x exp(x2) en posant u = 2x et v = exp(x2). u' = 2 ; v' = 2x exp(x2) ; u'v+v'u =2exp(x2) +4x2 exp(x2). Question 48 Soit f (x)= x ln(x) + x. Alors, pour tout x ∈ R∗ +, f ' (x) est égale à a. ln(x) ; b. − ln(x) ; c. ln(x)+2 vrai ; d. 1 / x + 1 ; e. rien de ce qui précède. On pose u = x et v = ln(x) ; u' = 1 ; v' = 1/x ; dérivée de x ln(x : u'v+v'u = ln(x) +1. f '(x) = ln(x) +2. Question 49 Une équation cartésienne du plan P contenant A(1, 2, −1) et de vecteur normal de coordonnées (−1 ; 1;  2 ) est a. −x + y + 2z − 1=0;  b. x − y − 2z +1=0 ; c. 3y − z = 0 ; d. −x + y + 2z +1=0 vrai ; e. rien de ce qui précède. -x+y+2z+d=0. A appartient à ce plan :  -1+2-2+d = 0 ; d = 1. Question 50 Soit (un) une suite arithmétique telle que u0 = 1 et u2 = 9. Alors la raison de (un) est a. 9 ; b. 3 ; c. 4 vrai ; d. 6 ; e. rien de ce qui précède u1 = u0+r ; u2 = u1+r = u0+2r =9. 1+2r=9 ; r =4. Question 51 On tire avec remise 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. Soit X le nombre de rois obtenus. Alors la loi de X est a. Une loi binomiale de paramètres  5, 1 /4 ;  b. Une loi binomiale de paramètres  5, 1 /8 vrai.  c. Une loi binomiale de paramètres  5, 1/ 2  d. Une loi binomiale de paramètres  5, 1/ 16  ; e. rien de ce qui précède On répète de manière indépendante n = 5 tirages d'une carte parmi 32. Cette carte est un roi avec la probabilité 4 /32 = 1 /8. Question 52 Les solutions de l’équation différentielle y′ + y = 0 sur R sont les fonctions a. f(x) = ke−x où k ∈ R  vrai. b. f(x)=kex où k ∈ R ; c. f(x)= kx où k ∈ R ; d.f(x)= k + x où k ∈ R ;e. rien de ce qui précède. Question 53 Soit D le domaine de définition de la fonction f(x)= 1 / [x ln(x) ln (ln(x))] . Une primitive de f sur D est a. F(x)= ln[ x ln(x)] ;   b.F(x)= ln[ln (ln(x) ) ] vrai ;  c. F(x)= ln(x) /x ;d. F(x)= ln( ln(x)) / x ; e. rien de ce qui précède On dérive F(x)= ln[ x ln(x)] en posant : w = x ln(x) u =x ; v = ln(x) ; u'=1 ; v' = 1 /x ; u'v+v'u = w' =ln(x)+1. F '(x) = w' / w = (ln(x)+1) / (x ln(x)) diffère de f(x). On dérive F(x)=  ln[ln (ln(x) ) ] en posant : w = ln( ln(x)) u =ln(x)  u'=1/x ; w' =u'/ u =1/ (x ln(x)). F '(x) = w' / w = 1/ [x ln(x)ln(ln(x))]. Question 54 Soit f (x)= ln [(1 − x) /( 2 − x)] . Alors le domaine de définition de f est  a. ]1, +∞[ ; b. ]2, +∞[ ; c. ]1, 2[ ; d. R∗ +;  e. rien de ce qui précède. Vrai 1-x et 2-x différents de zéro soit x différent de 1 et x différent de 2. (1 − x) /( 2 − x) > 0. x appartient à ]-oo ;1[ union ]2 ; +oo[. Question 55 Soit (un) une suite arithmétique telle que u5 = −13 et u9 = −25. Alors u3 est égal à a. −12 ; b. −22 / 3 ; c. −14 ; d. −7 vrai ;  e. rien de ce qui précède. u6 = u5+r ; u7 = u6+r =u5+2r ; u8 = u7+r =u5+3r ; u9 = u8+r =u5+4r ; 4r = u9 - u5= -25+13 =-12 ; r = -3. u5 =u4+r =u4-3 ; u4 =-10 ; u4 =u3+r =u3-3 ; u3 =-7. Question 56 Soit f (x)=1 /(x2 + 2)4 . Alors, pour tout x ∈ R, f ′ (x) est égale à a. − 4 /(x2 + 2)5 ; b. − 8x /(x2 + 2)3 ; c. − 4x /(x2 + 2)5 ; d. − 8x /(x2 + 2)5 vrai ;  e. rien de ce qui précède. On pose u = (x2+2) ; u' = 2x ;  f(u) = u-4 ; f '(u) = -4 u' u-5= -8x /(x2 + 2)5 . Question 57. Soient A, B et C trois événements quelconques. Alors P(A ∪ B ∪ C) = ( au moins un des 3 événement se produit). b. P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) Réponse B. Question 58 Soit f(x)= ln [(x2 − 3x + 2 ) / (x + 1 )]. Alors le domaine de définition de f est a. ]−1, 1[ ∪]2, +∞[ vrai ; b. R-{−1} ; c. ]−∞, 1[ ∪]2, +∞[ ; d. R* + ; e. rien de ce qui précède . Le denominateur ne doit pas être nul ; x différent de -1. Le numérateur ne doit pas être nul ; x différent de 1 et x différent de 2. (x2 − 3x + 2 ) / (x + 1 ) > 0. (x-1)(x-2) / (x+1) >0.  Question 59 La limite en plus l'infini de ( x2 − x + 7 ) / (3 − 2x + 5x3 ) est égale à a. 0 vrai ; b. 1 /5 ; c. +∞ ; d. 1;  e. rien de ce qui précède. x3( 1/x -1/x2+7/x3) / [x3(3/x3-2/x2+5)]=( 1/x -1/x2+7/x3) / (3/x3-2/x2+5). En plus l'infini, le numérateur tend vers zéro et le dénominateur tend vers 5. Question 60 Soit f(x)= exp[cos(cos(x))]. Alors f ′ (x) est égale à  : a. 2 cos(x)exp[cos(cos(x))] ;  b. −2 cos(x) sin(x)exp[cos(cos(x))] ;  c. cos (cos(x))  exp[cos(cos(x))] ;  d. − sin (cos(x))  sin(x)exp[cos(cos(x))] ;  e. rien de ce qui précède. Vrai Formule des dérivées composées f(g(x))=g'(x).f '(g(x)). On pose u = cos (x) ; u' = - sin(x). On pose v = cos(u) ; v' = -u' sin(u)=sin(x) sin(cos(x)) f(v) =exp(v) ; f '(v) =v' exp(v) =  sin(x) sin(cos(x))exp[cos(cos(x))].

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