Mathématiques, Concours EMIA 2022

Exercice 1. Dérivées, primitives, intégrales..
1- Calculer les dérivées des fonctions suivantes.
f₁(x) = exp(x⁴).
On pose u = x⁴ ; u' = 4 x³. f '₁(u) = u' e^u = 4 x³ exp(x⁴).

f₂(x) = exp(x).⁴
On pose u = e^x ; u' = e^x ; f ₂(u) = u⁴ ; .f '₂(u) =4u'u³.
f '₂(x) = 4 exp(x)⁴.

f₃(x) = ln[(x+1) /(x-1)] sur ]1 ; +oo[.
On pose w = (x+1) / (x-1).
puis u = x+1 et v = x-1 ; u' = v' = 1.
w' = (u'v-v'u) / v² =(x-1-(x+1)] / (x-1)² = -2/ (x-1)² .
f'₃(x) =w' / w = -2/ ((x-1)(x+1))=-2/(x²-1)..

f₄(x) = x sin(ln(x)) sur ]0 ; +oo[.
On pose u = x et v = sin(ln(x)) ; u' = 1 ; v' = cos(ln(x) / x.)
u'v+v'u =sin(ln(x))+cos(ln(x).

2- Calculer les intégrales suivantes :

On pose u = sin(t) et du = cos(t)dt.

Sur [-1 ; 1], |t²-1| = 1-t² ; .sur [1 ; 2], |t²-1| = t² -1.

On pose u' = e^t; v = t+1 ; u =e^t ; v' = 1 ; intégration par parties.

3-a Soit x un réel positif. Montrer que pour tout t appartenant à [0 ; x], -x² < t² cos(t) < x².
-1 < cos(t) < 1 ; -t² < t² cos(t) < t².
Or t < x ; -x² < t² cos(t) < x².
b. En déduire pour x positif un encadrement de l'intégrale suivante.

c. Utiliser la question précédente pour déterminer si elle exisste la limite de I en 0⁺.
-x² / 3 tend vers 0^- ; x² / 3 tend vers 0⁺ ; I tend vers zéro.

Exercice 2. Géométrie_.
1. Rappeler l'équation d'un cercle C de centre (-1 ; 0) et de rayon 1.
(x-(-1)² +(y-0)² = 1² ; (x+1)² +y² = 1.
2. Soit (x ; y) un point de C tel que y > 0. Exprimer y en fonction de x.
y = [1- (x+1)² ]^½= [-x(x+2)]^½.
3. En déduire dans un repère orthonormé la représentation du graphe de f(x) =[-x(x+2)]^½.

Demi-circonférence.
J représente l'aire du demi disque de rayon 1. J =0,5 p.

Exercice 3- Equation et fonction.
1. Résoudre :
ln(1-x²) -ln(3x) +ln(2)=0.
1-x² >0 soit -1 < x < 1.
ln[2 (1-x²)/ (3x)] =0 ; 2 (1-x²)/ (3x) = e⁰ = 1.
1-x² =1,5x ; x² +1,5x -1=0
Discriminant D =1,5²+4 =6,25=2,5².
Solution retenue : x =(-1,5 +2,5) / 2 =0,5.

e^x+e^1-x=e+1.
e^x+e / e^x=e+1 ; e^2x +e = (e+1)e^x. On pose X = e^x >0.
X²+e = (e+1)X ; X²- (e+1)X+e=0.
Discriminant D =(e+1)²-4e =(e-1)².
Solutions retenues : X =(e+1+e-1)/2=e ; X =(e+1-e+1)/2=1.
e = e^x ; x= 1 ; 1 = e^x ; x =0.
2a. Etudier la fonction h(x)=x-ln(1+x) sur ]-1 ; +oo[ et démontrer que pour tout réel x > -1, on a ln(1+x) < x.
h'(x) = 1-1 /(1+x) =(1+x-1) / (1+x) = x /(1+x)

D'après ce tableau, h(x) > 0, donc ln(1+x) < x. .
b. En déduire que pour tout n entier naturel différent de 0 et 1, on a : (1+1/n)ⁿ < e < (1-1/n)^-n.
On pose x = 1 /n et on élève à la puissance n :
ln(1+1/n)ⁿ < 1/nⁿ ; (1+1/n)ⁿ < exp(1/nⁿ)= e¹ = e.
- ln(1+x) > -x.
On pose x = -1 /n et on élève à la puissance n :
-ln(1-1/n)ⁿ > 1/nⁿ ; ln(1/(1-1/n)ⁿ ) > 1/nⁿ ;
1/ (1-1/n)ⁿ > exp(1/nⁿ)= e¹ = e. (1-1/n)^-n > e.

Exercice 4. Etude d'une suite numérique.
On considère la suite (u_n) définie par u₀ = 3 et u_n+1=(4u_n-2) / (u_n+1) pour tout entier naturel n.
On pose f(x) = (4x-2) / (x+1) pour x < 1
1. Etudier les variations de f sur [1 ; +oo[
Calcul de f '(x) en posant u = 4x-2 et v = x+1 ; u' = 4 ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v² =(4x+4-4x+2) / (x+1)² = 6/ (x+1)² > 0.
Donc f(x) est strictement croissante de 1 à 4 sur [1 ; +oo[ et décroissante sur [0 ; 1].
2. Démontrer que pour tout n > 0, on a u_n > 1.
u_n+1=f(u_n) > 1.
3. On définit la suite (v_n) en posant : v_n =(u_n-2) / (u_n-1) pour tout entier naturel. Démontrer que (v_n) est géométrique et donner l'expression de son terme général.
v_n+1 = (u_n+1-2) / (u_n+1-1) ; u_n+1-2 =(4u_n-2) / (u_n+1) -2 = (2u_n-4) / (u_n+1) ; u_n+1-1 =(4u_n-2) / (u_n+1) -1 = (3u_n-3) / (u_n+1).
v_n+1 = (2u_n-4) / (3u_n-3) =2 / 3 (u_n-2) / (u_n-1)=2 / 3 v_n.
La suite (v_n) est géométrique de raison 2 /3 et de premier terme v₀ =(3-2) /(3-1) =0,5.
v_n =0,5 *(2/3)ⁿ.
4. En déduire l'expression du terme général de la suite (u_n).
u_n-2=0,5 *(2/3)ⁿ.(u_n-1) ; u_n-0,5 *(2/3)ⁿ u_n =2-0,5 *(2/3)ⁿ.
u_n =2-0,5 *(2/3)ⁿ / (1-0,5 *(2/3)ⁿ).
5. Justifier que (u_n) est convergente et déterminer sa limite.
u_n+1-u_n=f(u_n)-u_n ; (4x-2) / (x+1)-x =(3x-3) / (x+1) < 0 sur [0 ; 1] ; la suite est décroissante.
Quand n tend vers l'infini, (2/3)ⁿ tend vers zéro et u_n tend vers 2.
La suite est décroissante et bornée, donc elle converge.

Exercice 6. Calculs algébriques.
On s'intéresse à l'égalité n°1 : 1 / a +1 /b = 1 /(a+b) qui est fausse en général.
1. Donner un contre exemple à cette égalité.
Pour a = 1 et b = 2, l'égalité est fausse.
2.a. a et b sont des nombres complexes non nuls. Démontrer que cette égalité est vraie si et seulement si a²+b²+ab = 0.
a = c+i d et b = e + i f avec c, d, e et f réels.
Si 1 / a +1 /b = 1 /(a+b) alors : 1 /a + 1 /b =(a+b) / ab = 1 /(a+b) ; (a+b)² = ab ; a²+b²+2ab = ab ; a²+b²+ab = 0.
Si a²+b²+ab = 0 alors : a²+b²+2ab - ab =0 ; (a+b)² = ab ; (a+b) / ab = 1 /(a+b) ; 1 / a +1 /b = 1 /(a+b).

b. Un cas particulier ; déterminer les nombres complexes z₁ et z₂ tels que l'égalité 1 soit vraie pour b = 2 et a = z₁ ou a = z₂.
a²+4+2a = 0 ; (a+2)² = 0 ; a = -2.
c. On revient au cas général. En posant z = a / b, montrer que 1 se ramène à une équation de degré 2 en la variable z dont on donnera l'expression des solutions sous forme exponentielle.
a = z b ; (zb)² +b² +zb²=0 ; z²+z+1=0.
Discriminant : D =1-4 = -3 = 3 i² .
z₁ =(-1 +3^½i) / 2 = cos (-4p/6 )+ i sin (-4p/6)= exp( -4 i p/6).
z₂ =(-1 -3^½i) / 2 = cos (7p/6 )+ i sin (7p/6)= exp( i 7p/6).