Corrigé Mathématiques : fonctions et équations, Concours avenir 2023.

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Pour chaque question une seule réponse est correcte. 3 points pour une réponse exacte ; -1 pour une réponse fausse ; une question non traitée ne rapporte ni ne retire aucun point.
Fonctions.
 1.
 f(x) =3x2 − 2x + 1.

f(0) = 1 ; f(1) = 2. Réponse d.

Question 2.
 f(x) = x2 − 3x + 2.
f '(x) =2x-3 ; f '(x) = 0 si x = 1,5.
Si x appartient à ]-oo ; 1,5] : f '(x) < 0 et f(x) est décroissante de plus l'infini à -0,25.
Si x appartient à [ 1,5 ; +oo[ : f '(x) > 0 et f(x) est croissante de -0,25 à plus l'infini.

Réponse d.

Question 3.
Soit l’équation x2 + mx + m = 0.
Le discriminant doit être nul : m2-4m=0 ; m =0 et m = 4.
Pour m = 0 ou m = 4 cette équation admet une unique solution.
Réponse c.

  Question 4.
g(x) =7(x − 2)(x + 1) .
g(x) = 7(x2-x-2) ; g'(x) = 7(2x-1) ; g'(0,5) = 0.
g(x) admet un extrémum en x = 0,5.
Réponse d.

Suites.
Question 5.
un =(n+1) /( n-1) avec n > 2 :
un+1-un =(n+2) / n- (n+1) / (n-1)=[(n+2)(n-1) -n(n+1)] / (n(n+1))= -1 /(n+1) < 0 .
un+1 < un. La suite est donc décroissante. Réponse a.

Question 6.
 S = 2 +4 +6 +... +200.
Somme des 100 premiers termes de la suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u1 = 2.
S = 100(2+200) / 2 =10 100. Réponse b.

Question 7.
 200 euros placés à 1,5% d’intérêts par an.
 u0 = 200.
un+1 =1,015 un.  Suite géométrique de raison 1,015 et de premier terme u0 = 200. Réponse d.

 Question 8.
Toute suite strictement croissante non majorée diverge vers +∞.
Toute suite décroissante est majorée. Vrai. Réponse b.
Soit la suite non monotone suivante :
1-1,3 +1 /5 -1 /7 +1 /9 -... = pi /4. Elle converge vers pi /4.
Si la raison d'une suite géométrique est inférieure à -1, la suite diverge en alternant des valeurs positives et négative.

Question 9.
u0 = 500 et un+1=1,3 un.
u = 500
N = 0
while u <= 1000 :
u = u*1.3
N = N+1
print(N)
Le programme ci-dessus,écrit en Python, affiche le rang du premier terme de la suite strictement supérieur à1000.
Réponse b.

Question 10.
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pi / e ~1,16 ; 1,16n tend vers plus l'infini si n tend vers plus l'infini.
vn tend donc vers moins l'infini. Réponse d.

Question 11.
un =(n + 2) / (n + 3) et vn =(un + 2) / (un − 1)..
En plus l'infini :
un =(n + 2) / (n + 3) < 1 ; un + 2 > 2 ; un − 1 < 0 ;  (un + 2) / (un − 1) < 0.
En plus l'infini : un tend vers 1 ; un − 1 tend vers 0- ; vn tend vers moins l'infini.
Réponse b.

Question 12.
u0 = 200.
u1 =0,9* u0 +50= 230 ;
u2 =0,9* u1 +50=0,9*0,9* u0 +0,9*50+50 =0,92u0+0,9 *50 +50= 257 ;
u3 =0,9* u2 +50=0,93u0+0,92 *50 +50*0,9 +50~281
u4 ~ 303 ; u5 ~ 323 ; u6 ~370.
un=0,9nu0+50 (0,9n-1 +0,9 n-2 +... +0,91 +0,90).
0,9n-1 +0,9 n-2 +... +0,91 +0,90 : suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme 1.
0,9n-1 +0,9 n-2 +... +0,91 +0,90 = (1-0,9n) / (1-0,9) =10.
Quand n tend vers l'infini : 0,9n , 0,9n-1,...tendent vers zéro ; un tend vers 500
Réponse a.

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 Question 13.
On a représenté la courbe de la fonction dérivée f ' d'une fonction f.

Etablir le tableau de variation.

a.  Sur [0 ; 1), f '(x) est négative : f(x) est décroissante.
Sur [1 ; +oo[, f '(x) est positive et f(x) est croissante.
Sur [0 ; +oo (, f(x) n'est donc pas monotone.
b. f '(1) =0 ; f(x) présente un minimum.
Donc f(0) > f(1).
c. Sur [3 ; 2), f '(x) >0, donc f(x) est croissante. Répondre c.
d. f '(0) n'étant pas nulle, f(x) ne possède pas d'extrémum en x = 0.

Question 14. A propos de la fonction racine  carrée f(x) = x½.
Soit D l'ensemble sur lequel elle est dérivable.
a. D = ]0 ; +oo[ ; zéro est exclu car la dérivée à gauche ( pour 0-) n'existe pas.
b. f '(x= =½x-½. f '(4)= 0,5 * /4½ = 1/4. Répondre b.

Question 15. f(x) =(1-2x) / x2.
On calcule f '(x) en posant u = 1-2x et v = x2 ; u'=-2 ; v' = 2x.
(u'v+v'u) / v2 =[-2x2-2x(1-2x)] / x4 =(2x2-2x) / x4=(2x-2) / x3. Réponse a.

Question 16. f est une fonction strictement croissante sur R et g est strictement décroissante sur R.
On considère la fonction h = f x g.
h '(x) = f '(x) * g(x) +f(x) *g'(x).
Sans autre informations, on ne peut ni affirmer que h est constante, strictement croissante ou strictement décroissante. Répondre D.

Question 17. f(x) = x3-3x-2. Le tableau de variation est :
f '(x) = 3x2-3 =3(x2-1)=3(x+1)(x-1).

Réponse A.

Question 18.
 Soit la fonction f est dérivable sur R ; on note f ' sa dérivée.
a. Si f '(0) =0 et change de signe, alors f admet un extrémum en zéro.
b. Quelque soit x réel, la limite quand h tend vers zéro, de [f(x+h)-f(x)] / h est égale à zéro. Vrai.

Question 19.
Soit la fonction f(x) = 3x-2/x2 définie sur R*.
f '(x) = 3+4 / x3. f '(-1) = -1.
Equation de la tangente en x = -1 : y = -x+b.
Le point de coordonnées (-1 ; -5) appartient à la tangente.
-5=1+b ; b=-6 ; y=-x-6. Réponse C.

Question 20.
Sur [0 ; 2 p[, solutions de l'équation cos(x) = -3½/2 . Réponse B.


Question 21.
Solution(s) sur R de l'équation sin(x) = 0,5.
sin (x) = sin(p/6) ; x = p/6 +2kp avec k réel.
x =5 p/6 +2kp avec k réel. Réponse D.

Question 22.
-3½ sin ( p/6) = -0,866.
2½ cos ( 3p/4) = -1.
-18 sin ( 7p/6) = 9 ( entier naturel) Réponse C..
3½ cos (2 p/3) = -0,866.

Question 23.

Réponse C.

Question 24.
Equation d'un cercle de centre O(-5 ; 2) et de rayon R=2½.
(x-xO)2 +(y-yO)2 =R2 ;  2(x+5)2 +(y-2)2 = 2.Réponse C.

Question 25.

La droite (AB) et la droite d'équation y = 2x sont perpendiculaires. Réponse A.

Question 26.

Réponse D.
Question 27.

Réponse C.

Question 36.

La dérivée seconde étant négative sur [0 ; 2], la fonction f est concave sur cet intervalle. Réponse C.

Question 37.
f (x) = x4+6x3.
f '(x)=4x3+18x2 ; f "(x)=12x2+36x=12x ( x+3).

Réponse A.

Question 38.
f(x) = x ln(x)-x+1.
Calcul de f '(x) en posant u = x ; v = ln(x) ; u' = 1 ; v' = 1/x ; u'v+v'u = ln(x)+1.
f '(x)=ln(x) ; f ''(x)=1/x.

Réponse C.

Question 39.
Sur ]0 ; +oo[, la limite en zéro de la fonction f(x) = 5x+e-x-ln(x) est :
5 x tend vers zéro ; e-x tend vers 1 ; -ln(x) tend vers +oo.
f (x) tend donc vers +oo. Réponse C.

Question 40.
On considère une fonction f deux fois dérivable sur R.
La limite en plus l'infini d'une fonction strictement décroissante n'est pas nécessairement  moins l'infini.
Si f est convexe sur R, alors sa courbe représentative est au dessus de ces tangentes : f(1)-f(0) > f '(0). Répondre B.
Si la dérivée seconde s'annule et change de signe alors la courbe admet un point d'inflexion.
Soit f(x) =1 / x+1. La limite en +oo de f(x) est 1 ;
la limite en plus l'infini de f(x)-x = 1/x +1-x est -oo.

Question 41.
Sur R, f(x) = ln(x2+2).
On pose u = x2+2 ; u' = 2x ; f '(x) = u' / u.+1). f '(x) = 2x / (x2+2). Réponse A.

Question 42.
y'+2y=1 (E) vérifie f(1) = 1.
Solution générale de y'+2y = 0 :  f(x) = A e-2x avec A une constante.
Solution particulière de (E) : f(1) = 0,5.
Solution générale de (E) : f(x) = A e-2x +0,5.
f(1) = Ae-2+0,5 =1 ; A = 0,5e2.
f(x) = 0,5e2 e-2x +0,5 = 0,5(e-2x+2+1). Réponse C.

Question 43.
Solutions sur R de 2y'-y=0.
f(x) = A e0,5x avec A une constante réelle. Réponse B.

Question 44.
Primitive sur R de f(x) = 3x2 -e-x+8.
F(x) =  x3+e-x+8x + Constante. Réponse A.

Question 45.

F(x) décroît sur [0 ; 2]. Réponse D.
 
  
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