Probabilités, Mathématiques, bac général La réunion 2023. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... Sujet 1. Une entreprise appelle des personnes par téléphone pour leur vendre un produit. - L’entreprise appelle chaque personne une première fois : - la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à 0,6; - si la personne décroche, la probabilité qu’elle achète le produit est égale à 0,3. - Si la personne n’a pas décroché au premier appel, on procède à un second appel : - la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à 0,3;  - si la personne décroche, la probabilité qu’elle achète le produit est égale à 0,2. - Si une personne ne décroche pas au second appel, on cesse de la contacter. On choisit une personne au hasard et on considère les évènements suivants : D1 : « la personne décroche au premier appel »; D2 : « la personne décroche au deuxième appel »;  A : « la personne achète le produit ». Partie A 1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant. 2. En utilisant l’arbre pondéré, montrer que la probabilité de l’évènement A est P(A) = 0,204.  3. On sait que la personne a acheté le produit. Quelle est la probabilité qu’elle ait décroché au premier appel ? pA(D2)=p(A nD1) / p(A) = 0,12 / 0,204 ~0,588.  Partie B On rappelle que, pour une personne donnée, la probabilité qu’elle achète le produit est égale à 0,204.  1. On considère un échantillon aléatoire de 30 personnes. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes de l’échantillon qui achètent le produit. a. On admet que X suit une loi binomiale. Donner, sans justifier, ses paramètres.  n = 30 ; p = 0,204.  b. Déterminer la probabilité qu’exactement 6 personnes de l’échantillon achètent le produit. Arrondir le résultat au millième. p(X=6) =(306)0,2046 x (1-0,204)30-6~0,179.  c. Calculer l’espérance de la variable aléatoire X. Interpréter le résultat. n p = 30 x 0,204 =6,12. En moyenne, sur un échantillon de 30 personnes, 6 personnes achète le produit. 2. Soit n un entier naturel non nul. On considère désormais un échantillon de n personnes. Déterminer la plus petite valeur de n telle que la probabilité qu’au moins l’une des personnes de l’échantillon achète le produit soit supérieure ou égale à 0,99. P(X >1) = 1-P(X=0)=1-(n0)0,2040 x (1-0,204)n-0=1-0,796n > 0,99. 0,01 > 0,796n ; n ln(0,796) > ln(0,01) ; -0,228 n > -4,605 ; n >20,2  ; n = 21. ... .... Sujet 2. Un commerçant vend deux types de matelas : matelas RESSORTS et matelas MOUSSE.  On suppose que chaque client achète un seul matelas. On dispose des informations suivantes :  - 20 % des clients achètent un matelas RESSORTS. Parmi eux, 90 % sont satisfaits de leur achat. - 82 % des clients sont satisfaits de leur achat. Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.  Partie A On choisit au hasard un client et on note les évènements :  - R : « le client achète un matelas RESSORTS », - S : « le client est satisfait de son achat ».   1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.  2. Démontrer que x = 0,8.  3. On choisit un client satisfait de son achat. Quelle est la probabilité qu’il ait acheté un matelas RESSORTS ? On arrondira le résultat à 10−2 . PS(R) = P(S n R) / P(S)=0,18 / 0,82 ~0,22.   Partie B 1. On choisit 5 clients au hasard. On considère la variable aléatoire X qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces 5 clients.  a. On admet que X suit une loi binomiale. Donner ses paramètres. n = 5 ; p =0,82. b. Déterminer la probabilité qu’au plus trois clients soient satisfaits de leur achat. On arrondira le résultat à 10−3 . p(X < 3) ~0,222 donné par la calculatrice. 2. Soit n un entier naturel non nul. On choisit à présent n clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise. a. On note pn la probabilité que les n clients soient tous satisfaits de leur achat. Démontrer que pn = 0,82n . Probabilité qu'un client soit satisfait p1 = 0,82. Probabilité que 2 clients soient satisfaits p2 = 0,822. .... Probabilité que n clients soient satisfaits pn = 0,82n.  b. Déterminer les entiers naturels n tels que pn < 0,01. Interpréter dans le contexte de l’exercice. 0,82n< 0,01. n ln(0,82) < ln(0,01) ; -0,198 n < -4,60 ; n > 23,2. Il faut au minimum 24 clients  acheteurs. La probabilité que tous les clients soient satisfaits est inférieure à 1 %  dés qu'il y a au moins 24 clients.

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