Mouvement d'une goutte d'encre dans une imprimante à jet d'encre, bac général La Réunion 2023.

Immédiatement après avoir quitté la buse, les gouttes d’encre sont électrisées de manière contrôlée. Elles passent ensuite entre les armatures d’un condensateur plan où règne un champ électrostatique. Les gouttes sont alors plus ou moins déviées vers le haut pour atteindre la feuille d’impression. Les gouttes ne correspondant à aucun caractère imprimable ne sont pas électrisées si bien qu’elles ne subissent pas de déviation ; elles se dirigent alors vers le récupérateur et sont renvoyées vers les cartouches.
PARTIE A : Modèle du condensateur plan.
Un condensateur plan, de capacité C, est constitué de deux armatures conductrices, de surfaces S identiques, planes en regard, parallèles entre elles. Elles sont séparées d’une distance d par un matériau diélectrique. La capacité C dépend des caractéristiques du condensateur et on souhaite tester si elle respecte une relation de la forme C =k S / d (relation 1) où k est une constante. Pour ce faire, on réalise un montage électrique dans lequel un condensateur plan de capacité variable est soumis à une tension continue U = 1,50 V.
Au cours d’une première série de mesures, la distance entre les armatures est fixée à d = 5 mm. En faisant varier la surface S des armatures, on mesure la capacité C du condensateur. Grâce aux mesures réalisées, on trace le graphe figure 4. Une seconde série de mesures permet d’obtenir le graphe présenté en figure 5 : on mesure la capacité C du condensateur en faisant varier la distance d entre les armatures, leur surface S étant fixée à S = 200 mm² .

A.1. Donner l’unité de la capacité d’un condensateur dans le système international (SI).
La capacité s'exprime en farad (F).
A.2. Montrer que les graphiques présentés en figures 4 et 5 respectent la relation 1.
Figure 4 : k / d est une constante : C = constante x S, la capacité et la surface sont proportionnelles ( en accord avec la fonction linéaire représentée).
Figure 5 : k S est constant : C = constante x 1 /d ; C et 1 / d sont proportionnelles ( en accord avec le graphe).

PARTIE B : Mouvement d’une goutte d’encre électriquement chargée.
Données : - Distance entre les armatures du condensateur plan : d = 5,0 mm.
- Longueur des armatures : L = 20 mm.
- Charge électrique du condensateur plan : q_C = 1,0 nC.
- Distance entre le condensateur plan et la feuille d’impression : D = 10 mm.
- Volume d’une goutte d’encre : V = 1,5 × 10⁻¹⁴ m³ .
-Masse volumique de l’encre : µ = 9,5 × 10² kg ⋅ m⁻³ .
- Charge électrique d’une goutte d’encre : q = − 2,0 × 10⁻¹³ C.
- Tension constante appliquée entre les armatures : U = 3,0 kV.
- Valeur de la vitesse initiale de la goutte d’encre :v₀ = 30 m. s⁻¹ .
-Pour un condensateur plan, la valeur E du champ électrostatique est reliée à la tension U et à la distance d qui sépare les armatures par la relation : E = U / d .
B.1. Trajectoire d’une goutte d’encre électriquement chargée dans un champ électrique uniforme
Dans cette partie, on étudie le mouvement, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, d’une goutte d’encre électriquement chargée assimilée à un point matériel M entre les plaques d’un condensateur plan de capacité C. Une tension constante U est appliquée entre les armatures. À l’instant t = 0, la goutte arrive en un point O avec un vecteur vitesse initiale v ₀ parallèle aux armatures du condensateur plan. Lors de cette étude, on négligera tout type de frottement ainsi que la valeur du poids P de la goutte d’encre devant la valeur de la force électrostatique F subie par la goutte.

B.1.1. Vérifier quantitativement que l’hypothèse de négliger le poids de la goutte devant la force électrostatique est justifiée.
masse de la goutte : m =V µ=1,5 × 10⁻¹⁴ x9,5 10² =1,4 10^-11 kg.
Poids P = mg =1,4 10^-11 x9,8 ~ 1,4 10^-10 N.
Force électrostatique F = qE = qU / d =2,0 10^-13 x3,0 10³ / (5,0 10^-3)=1,2 10^-7 N >> P.
B.1.2. Compléter le schéma ) en représentant sans souci d’échelle le champ électrostatique E et la force électrostatique F que subit la goutte d’encre au point M. Justifier l’orientation de chacun des vecteurs.
Le champ est dirigé vers le plus petit potentiel, l'armature négative.

B.1.3. Déterminer la valeur de la capacité C du condensateur plan de charge q_C soumis à la tension électrique U.
C = q_C / U = 1,0 10^-9 / 3000 =3,3 10^-13 F.
B.1.4.1. Établir les équations horaires x(t) et y(t) du mouvement de la goutte d’encre.
La seconde loi de Newton projetée sur l'axe Oy conduit à F =|q|E= ma
Accélération a_x=0 ; a_y =|q|E / m.
La vitesse est une primitive de l'accélération : v_x = A ; v_y =|q|E / m t+ B avec A et B des constantes.
v_x(t=0)= v₀ = A ; v_y(t=0)= 0 = B.
La position est une primitive de la vitesse :
x(t) =v₀t+C ; y(t) = ½|q|E / m t²+D avec C et D des constantes.
x(t=0) =0 = C ; y(t=0)=0 = D.
B.1.4.2. En déduire que la trajectoire de la goutte d’encre au sein du condensateur plan s’écrit :
y(x) = - q U / (2 m d v₀² ) x².
t = x / v₀ ; repport dans y :y(x) = ½|q|E / (mv₀²) x² avec E = U / d.

B.1.4.3. Donner alors l’expression de l’ordonnée y_S de la goutte à la sortie S du condensateur.
y(L) = - q U / (2 m d v₀² ) L².