Microphone électrostatique, bac Polynésie 2023.

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Le capteur est modélisé par un condensateur plan. La membrane constitue l'une des armatures et la plaque fixe constitue la seconde armature.

Polarisation du capteur capacitif
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Le circuit permettant la polarisation de la membrane et de la plaque fixe est modélisable par un circuit RC.

A la date t=0, le condensateur est déchargé et on ferme l'interrupteur : le condensateur se charge.
1. Montrer que l'équation différentielle régissant l'évolution de la tension uc(t) lors de la charge est :
duc(t) / dt + uc(t) / RC = E / (RC).
Loi des mailles : E = uc(t) + uR(t).
uR(t)= R i(t) avec i(t) = dq(t) /dt = C duc(t) / dt.
E = uc(t) + RC duc(t) / dt.
duc(t) / dt + uc(t) / RC = E / (RC).
2. Vérifier que uc(t) = E(1-exp(-t / t) est solution de cette équation.
duc(t) / dt =-E / t exp(-t / t).
Repport dans l'équation différentielle : 

-E / t exp(-t / t)+E / RC(1-exp(-t / t)=E / (RC).
Cette égalité est vérifiée quelque soit le temps si t = RC.
-t / t est sans unité, donc t a la dimension d'un temps.
On a représenté uc(t) lors de la charge.
3. Déterminer le temps caractéristique t..

4. En déduire C si R = 1,0 105 ohms.
C = t / R = 1,6 10-6 /(1,0 105)=1,6 10-11 F.


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Fonctionnement du capteur capacitif du microphone.
5. Calculer la valeur de la capacité C0 du condensateur modélisant le microphone au repos..
Surface S de la plus petite armature S = 3,60 10-5 m2.
Distance e entre les armatures du condensateur au repos e = 20,77 µm.
Permittivité diélecttrique de l'air eair = 8,9 10-12 F m-1.
C =
eair S / e = 8,9 10-12 x3,60 10-5 / (20,77 10-6) =1,54 10-11 F.
Lorsqu'une onde sonore exerce une pressionsur la membrane du microphone, sa capacité varie.
6. Identifier le paramètre géométrique responsable de cette variation.
La distance e des armatures diminue. Les autres paramètres étant constants, la capacité du condensateur augmente.
On cherche à vérifier si ce microphone permet d'acquérir un son dont les caractéristiques sont : f = 440 Hz ; I =4,7 10-6 W m-2.
7. Calculer la période T du son et commenter la possibilité d'acquérir ce son en comparant T au temps de réponse du capteur ( ~ 1 µs).
T = 1 / f = 1 / 440 = 2,27 10-3 s.
T >> 1 µs, l'acquisition du son est possible.
Le domaine d'utilisation du microphone est compris entre 32 dB et 160 dB.
8. Vérifier si le niveau d'intensité sonore L peut être mesuré par le microphone.
L = 10 log ( I / I0) = 10 log (4,7 10-6 / 10-12)~67 dB.
Cette valeur étant comprise entre 32 et 160 dB, ce niveau peut être mesuré.


  
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