Fonctions, bac général Polynésie 2023.

Fonctions, Mathématiques, bac général Polynésie 2023.

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Sujet 1.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1. Affirmation : La fonction f définie sur R par f(x)) = e^x −x est convexe. Vrai.
f '(x)= e^x-1 ; f "(x) = e^x >0.
2. Affirmation : L’équation (2e^x − 6)(e^x + 2) = 0 admet ln(3) comme unique solution dans R. Vrai.
2e^x − 6 = 0; ex = 3 ; x = ln(3).
e^x + 2 est strictement positif sur R.
3. Affirmation : La limite en plus l'infini de (e^2x − 1 ) / (e^x − x ) est égale à zéro. Faux.
e^2x(1-1/e^2x) / [e^x(1-x/e^x)]=e^x(1-1/e^2x) / (1-x/e^x).
En plus l'infini : 1/e^2x,x/e^x tendent vers zéro.
e^x tend vers plus l'infini.

4. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = (6x + 5)e^3𝑥 et F la fonction définie sur R par : F(x) = (2𝑥 + 1)e^3x +4.
Affirmation : F est la primitive de f sur R qui prend la valeur 5 quand x = 0. Vrai.
On dérive F en posant u = 2x+1 et v = e^3x ; u' = 2 ; v' = 3e^3x.
F '(x) = u'v +v'u =2e^3x+3(2x+1)e^3x=(6x + 5)e^3𝑥= f(x).
F(0) = 1+4=5.
'
5. On considère la fonction mystere définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre.
On rappelle que len(L) représente la longueur de la liste L.
def mystere (L) :
S=0
for i in range(len(L)) :
S=S+L[i]
return S / len(L)
Affirmation : L’exécution de mystere([1,9,9,5,0,3,6,12,0,5]) renvoie 50. Faux.
(1 + 9 +9 +... +5) / 10 =5.

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Sujet 2.
Partie A.
Le plan est ramené à un repère orthogonal. On a représenté ci-dessous la courbe d’une fonction f définie et deux fois dérivable sur R, ainsi que celle de sa dérivée f 'et de sa dérivée seconde f ".

1. Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.
C₂ : positive et croissante sur R. Si c'était la dérivée d'une fonction, celle-ci serait strictement croissante : or aucune des deux autres ne l'est.
C₂ représennte donc la fonction f.
C2 étant strictement croissante, sa dérivée est positive : courbe C₃.
C₂ : fonction ; C₃ : dérivée première f ' ; C₁ dérivée seconde f ".
2. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à la courbe C₂ au point d’abscisse 4.

4 / 1,3 ~3,1.
3. Donner, avec la précision permise par le graphique, l’abscisse de chaque point d’inflexion de la courbe C₁.
Points d'abscisse 3, 4 et 5.
Partie B.
Soit un réel k strictement positif. On considère la fonction g définie sur R par : g(x) = 4 / (1+e^-kx).
1. Déterminer les limites de g en +∞ et en −∞ .
En plus l'infini : e^-kx tend vers zéro et g(x) tend vers 4.
En moins l'infini :e^-kx tend vers plus l'infini et g(x) tend vers 0.
2. Prouver que g ′ (0) = k.
On pose u = 1 et v = 1+e^-kx ; u' = 0 ; v ' = -ke^-kx.
g '(x)=(u'v-v'u) / v² = ke^-kx / (1+e^-kx)² .
g '(0) = k.
3. En admettant le résultat ci-dessous obtenu avec un logiciel de calcul formel, prouver que la courbe de g admet un point d’inflexion au point d’abscisse 0.
g"(x) = -4e^kx(e^kx-1) k² / (e^kx+1)³.
g"(0) = 0.
e^kx , k² et e^kx+1 sont positifs.
Le signe de g"(x) est celui de e^kx-1.
Si x > 0, e^kx-1 >0 ; si x < 0, e^kx-1 < 0
Pour x < 0 : g"(0) =0.
La dérivée seconde s'annule et change de signe en x=0. La courbe admet un point d'inflexion en x=0.

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