Suites,
Mathématiques,
bac général Amérique du Nord
2023.
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Sujet 1. On étudie un groupe de 3 000 sportifs qui pratiquent soit l’athlétisme dans le club A, soit
le basketball dans le club B.
En 2023, le club A compte 1 700 membres et le club B en compte 1 300.
On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement
par deux suites (a n) et (b n), où n désigne le rang de l’année à partir de 2023.
L’année 2023 correspond au rang 0. On a alors a 0 = 1700 et b 0 = 1300.
Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes :
- durant l’étude, aucun sportif ne quitte le groupe;
- chaque année, 15% des sportifs du club A quittent ce club et adhèrent au club B;
- chaque année, 10% des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club A.
1. Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024.
a 1 = a 0 +0,1 b 0-0,15a 0=1700 +130-255 =1575.
b 1 = 3000 -a 1 =1425.
2. Pour tout entier naturel n, déterminer une relation liant a n et b n.
an + bn = 3000.
3. Montrer que la suite (a n) vérifie la relation suivante pour tout entier naturel n, on
a :
a n+1 = 0,75a n +300.
an+1 = an +0,1 bn-0,15an=0,85 an +0,1 (3000-an)= 0,75an +300.
4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a :
1200 < a n+1 < a n < 1700.
Initialisation : 1200 < a1 < a0 < 1700. La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : 1200 < an+1 < an < 1700 est supposée vraie.
1200 x0,75 < 0,75an+1 < 0,75an < 1700x0,75 ;
900 < 0,75an+1 < 0,75an < 1275 ;
900+300 < 0,75an+1 +300< 0,75an +300< 1275 +300.
1200 < an+2 < an+1 < 1575 < 1700.
La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel n.
b. En déduire que la suite (a n) converge.
D'après la question précédente, la suite est décroissante et bornée par 1200, donc elle converge.
5. Soit (v n) la suite définie pour tout entier naturel n par v n = a n −1200.
a. Démontrer que la suite (v n) est géométrique.
vn+1 = an+1 −1200 = 0,75an +300 -1200 = 0,75an -900 =0,75 ( an -1200) =0,75 vn.
La suite (vn) est géométrique de raison 0,75 et de premier terme v0 = 500.
b. Exprimer v n en fonction de n.
v n = v 0 x0,75 n = 500 x 0,75 n.
c. En déduire que pour tout entier naturel n, a n = 500×0,75 n +1200.
an = vn +1200 =500×0,75n +1200..
6. a. Déterminer la limite de la suite (a n).
0 < 0,75 < 1 ; 0,75n tend vers zéro si n tend vers plus l'infini.
an tend vers 500.
b. Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l’exercice.
Le club A comptera 500 adhérents au bout d'un temps suffisamment long.
7. a. Recopier et compléter le programme Python ci-dessous afin qu’il renvoie la
plus petite valeur de n à partir de laquelle le nombre de membres du club A
est strictement inférieur à 1 280.
def seuil()
n=0
A = 1700
while A>=1280:
n=n+1
A = 0.75*A+300
return
b. Déterminer la valeur renvoyée lorsqu’on appelle la fonction seuil.
Le script renvoie la plus petite valeur de n telle que a n < 1280.
500×0,75n +1200 < 1280.
500×0,75n < 80 ; 0,75n < 80 /500 ; 0,75n < 0,16.
n ln(0,75) < ln(0,16) ; -0,288 n < -1,83.
n >1,83 / 0,288 ; n > 6,36 ; n = 7.
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Sujet 2.
On considère la suite (un) définie par u0 = 5 et pour tout entier naturel n,
un+1 = 0,5( un +
11/
un
).
On admet que la suite (un) est bien définie.
Partie A - Étude de la suite (un)
1. Donner u1 et u2 sous forme de fractions irréductibles.
u1 = 0,5( u0 +
11/
u0
) = 0,5(5+11/5)=0,5 x(25+11) / 5=18 / 5.
u2 = 0,5( u1 +
11/
u1
) =0,5(18 / 5 +55 / 18)= 0,5 (18x18+55x5) / (5x18)=599 / 180 .
2. On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par :
f (x) = 0,5(
x +
11/
x ).
Démontrer que la fonction f est croissante sur l’intervalle [
11½ ; +oo[
.
f '(x) = 0,5 (1-11/x2) =0,5(x2-11) / x2.
f '(x) >0 si x > 11½ ; f(x) est croissante sur [
11½ ; +oo[
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a : un > un+1 > 11½.
Initialisation : 5 > 18 /5 > 11½. La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : un > un+1 > 11½ est supposée vraie.
f(un) > f(un+1) > f(11½) car f est croissante sur l’intervalle [
11½ ; +oo[
.
un+1 > un+2 > f(11½) ; f(11½) =11½.
La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel n.
4. En déduire que la suite (un) converge vers une limite réelle. On note a cette limite.
D'après la question précédente, la suite est décroissante et minorée par 11½ : d'après le théorème de convergence monotone, la suite converge.
5. Après avoir déterminé et résolu une équation dont a est solution, préciser la valeur exacte de a.
un+1 = f(un).
La suite converge vers la limite notée a.
f est continue sur [
11½ ; +oo[, intervalle qui contient tous les termes de la suite.
D'après le théorème du point fixe, a est solution de l'équation f(x) = x.
x = 0,5(x+11 /x) ; 2 x = x+11 /x ; x = 11 /x ; x = 11½.
la suite converge vers 11½.
Partie B - Application géométrique.
Pour tout entier naturel n, on considère un rectangle Rn d’aire 11 dont la largeur est notée ln et
longueur Ln
.
La suite (Ln) est définie par L0 = 5 et, pour tout entier naturel n,
Ln+1 =
(Ln +ln
)/2.
1. a. Expliquer pourquoi l0 = 2,2.
Aire du rectangle L0 x l0 = 11 ; 5 l0 = 11 ; l0 = 2,2.
b. Établir que pour tout entier naturel n, ln =
11/
Ln
.
Aire du rectangle Ln x ln = 11 ; ln =
11/
Ln
.
2. Vérifier que la suite (Ln) correspond à la suite (un) de la partie A.
Ln+1 =
(Ln +ln
)/2= (Ln +11 /Ln
)/2.
Les deux suites vérifient la même relation de récurrence et L0 = u0 = 5.
3. Montrer que pour tout entier naturel n, on a ln <
11½ < Ln.
(un) et donc (Ln) sont minorées par 11½ : 11½ < Ln.
1/11½ > 1/Ln ; 11 /11½ > 11 / Ln ; 11½ > 11 / Ln ; 11½ > ln.
Par suite : ln <
11½ < Ln.
4. On admet que les suites (Ln) et (ln) convergent toutes les deux vers 11½. Interpréter géométriquement ce résultat dans le contexte de la partie B.
Le rectangle tend vers un carré de côté 11½.
5. Voici un script, écrit en langage Python, relatif aux suites étudiées dans cette partie :
def heron(n):
L=5
l=2.2
for i in range(n):
L = (L+l) / 2
l = 11 / L
return round(l,6), round(L,6).
On rappelle que la fonction Python round(x,k) renvoie une version arrondie du nombre x
avec k décimales.
a. Si l’utilisateur tape heron(3) dans une console d’exécution Python, qu’obtient-il comme
valeurs de sortie pour l et L ?
La fonction renvoie l3 et L3 avec 6 décimales soit 3,316 606 et 3,316 643.
b. Donner une interprétation de ces deux valeurs.
3,316 606 < 11½ < 3,316 643.
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