Pour éviter qu’ils ne se fassent
écraser en passant sur la route qui traverse cette zone de migration,
un
dispositif a été installé : des barrières en bois, suffisamment hautes
pour empêcher le saut sur la route, sont
placées de chaque côté, obligeant les amphibiens à emprunter des
passages souterrains appelés
« crapauducs ».
Dans cet exercice, on se propose d’étudier le mouvement lors d’un saut
d’un crapaud Bufo bufo de façon à
déterminer la hauteur minimale des barrières de protection le long
d’une route.
Le système considéré est un crapaud dont on étudie le mouvement du
centre de masse, noté G. Le champ
de pesanteur terrestre local est considéré uniforme et les frottements liés à l’action de l’air
sont supposés
négligeables face au poids.
Données : intensité de la pesanteur terrestre : g = 9,81 m·s
−2 ; taille moyenne d’un crapaud Bufo bufo : 10 cm.
Le mouvement du centre de masse G du crapaud est étudié dans le
référentiel terrestre supposé galiléen et
muni du système d’axes (Ox, Oz), respectivement horizontal muni du
vecteur unitaire iet vertical muni du
vecteur unitaire j (voir figure 1).
À la date t = 0 s, le centre de masse G est placé à l’origine du repère O et son vecteur vitesse initiale, noté
v
0 a une direction faisant un angle
a avec l’axe horizontal (Ox).
Q1. Établir les expressions littérales des composantes a
x et a
z du vecteur accélération du centre de masse
du crapaud suivant les axes Ox et Oz.
Le crapaud n'est soumis qu'à son poids : la chute est libre. La seconde loi de Newton conduit à : a
x = 0 et a
z = -g.
Q2. Établir les expressions littérales des composantes v
x(t) et v
z(t) du vecteur vitesse du centre de masse
du crapaud suivant les axes Ox et Oz.
La vitesse est une primitive de l'accélération : v
x = A et v
z = -gt +B. A et B sont des constantes.
v
x(0)= A = v
0 cos
a.
vz(0)= A = v0 sin a.
Q3. Montrer que les expressions littérales des équations horaires x(t) et z(t) de la position du centre de
masse G du crapaud au cours de son mouvement s’écrivent :
x(t) =
v0 cos a)t
; z(t) = – ½ ·g·t
2
+
v0 sin a·t
.
La position est une primitive de la vitesse et la position initiale est
l'origine du repère ( les constantes d'intégrations seront nulles).
x(t) = v0 cos a t
; z(t) = – ½ ·g·t
2
+ v0 sin a·t
.
Q4. Établir l’expression de la durée du saut du crapaud, notée t
saut, en fonction de v
0, g, et
α.
z(t) =0= – ½ ·g·tsaut
2
+ v0 sin a·tsaut
.
tsaut = 0 correspond à la position de départ.
– ½ ·g·tsaut
+ v0 sin a·=0 ; tsaut = 2v0 sin a / g.
Q5. En utilisant l’expression de x(t) et l’expression de t
saut obtenue à la réponse à la question Q4, montrer que
la vitesse v
0 permettant au crapaud d’effectuer un saut de longueur d est donnée par la relation :
v
0 = [ g·d
/(2 sin(
a)·cos(
α))]
½.
d = v0 cos a tsaut = 2v02 cos a sin a / g.
v02 = g·d
/(2 sin(a)·cos(α)).
Q6. Sachant que les crapauds les plus puissants peuvent faire des sauts d’une longueur égale à 20 fois leur
taille, calculer la valeur de v
0 qu’ils atteignent pour un angle
a = 45°.
d=20 x 0,10=2,0 m.
v02 = 9,81 x2,0
/(2sin 45 cos 45)= 19,62 ; v0=4,43 ~4,4 m /s.
La hauteur maximale z
max d’un saut est obtenue lorsque ce saut est vertical ; l’angle
a vaut alors 90°, la
vitesse initiale est toujours notée v
0.
Q7. Établir que la hauteur maximale d’un saut a pour expression littérale :
z
max =
v02 / (2g).
Travail du poids négatif en montée : W = -mgzmax.
Théorème de l'énergie cinétique : 0 -½mv02 = -mgzmax.
zmax = v02 / (2g).
Q8. En déduire la valeur de la hauteur de barrière minimale, notée H, qui permet d’arrêter les crapauds
les plus puissants, capables de sauter verticalement avec une vitesse initiale v
0 de valeur calculée à la
question Q6.
zmax = 4,43
2 /(2 x9,81)=1,0 m.
H = 1,0 -0,05 = 0,95 m.
Q9. Les barrières mesurent en réalité 50 à 60 cm de hauteur. Donner un argument permettant d’expliquer
pourquoi on choisit d’installer des barrières d’une hauteur inférieure à H.
Le crapaud ne saute pas verticalement mais avec un angle de 45°.