Observation ornithologique d'une oie cendrée. Bac Métropole 09 / 2023.

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Certains parcs ornithologiques proposent des sorties mêlant observations des oiseaux, suivies d’analyse d’échantillons récoltés comme par exemple des plumes.
Cet exercice s’intéresse dans un premier temps à l’observation d’une oie cendrée à l’oeil nu et à l’aide d’une longue-vue. Puis, dans un second temps, le phénomène d’interférences lumineuses est utilisé pour déterminer des dimensions caractéristiques de la structure d’une plume d’oie.
Données :
- taille approximative d’une oie cendrée : 80 cm ;
- taille approximative du bec d’une oie cendrée : 7 cm ;
-distance focale de l’objectif L1 de la longue-vue : f1′ = 450 mm ;
- distance focale de l’oculaire L2 de la longue-vue : f2′ = 30 mm.
1. Observation d’une oie cendrée à l’oeil nu.
L’oeil est un système complexe que l’on peut modéliser par l’association :
- d’une lentille mince convergente L, d’axe optique D, de distance focale f ’ = 17 mm, de centre optique O ;
- d’un écran situé à une distance D = 17 mm du centre optique O.
La rétine est une membrane qui tapisse le fond de l’oeil et qui joue le rôle d’écran. L’oie cendrée est modélisée
par un objet de hauteur AB perpendiculaire à l’axe optique en A et situé à 280 m du centre optique O. L’image
de AB à travers la lentille L est notée A’B’.
Q1. Justifier que la position de l’image A’B’ de l’oie par la lentille L est telle que mesure algébrique de OA' = 17 mm.
L'objet est considéré à l'infini ; son image nette se forme donc sur la rétine situé 17 mm derrière la lentille.
Q2. Vérifier que la taille de l’image A’B’ de l’oie sur la rétine de l’observateur est voisine de 49 μm. Sachant
que la rétine est assimilée à un disque de rayon égal à 6 mm centré en F’, préciser si l’oie est vue en entier
par un observateur.
Mesure algébrique de OA' / mesure algébrique de OA = 0,017 / 280 =6,07 10-5.
Dimension de l'image de l'oie = 6,07 10-5 x 0,80 ~4,9 10-5 m = 49 µm << 6 mm.
L'oie est vue en entier sur par l'observateur..
Le pouvoir séparateur de l’oeil humain est l’angle limite, noté am, sous lequel un objet peut être vu distinctement par l’oeil ; sa valeur est de 3×10–4 rad.
Q3. Déterminer la distance minimale séparant deux points A et B d’un objet pouvant être vus lorsqu’ils sont situés à une distance de 280 m de l’oeil. En déduire si l’oie peut être vue distinctement par l’observateur à l’oeil
nu puis déterminer si le bec de l’oie peut être observé distinctement.
3×10–4  = AB / 280 ; AB = 280 x 3 10-4 =0,084 m = 8,4 cm.
80 cm > 8,4 cm : l'oie est donc vue distinctement.
7 cm < 8,4 cm : le bec ne l'oie n'est pas vu distinctement.

2. Observation avec une longue-vue assimilée à une lunette astronomique afocale.
L’oie est désormais observée à l’aide d’une longue-vue assimilée à une lunette astronomique afocale. Cette
lunette est composée d’une lentille L1 de distance focale f1’ jouant le rôle de l’objectif et d’une lentille L2 de
distance focale f2’ jouant le rôle de l’oculaire. On considère que l’oie, modélisée par un objet AB perpendiculaire à l’axe optique en A, est « à l’infini ». L’image de AB à travers la lentille L1 est notée A1B1. L’image de A1B1 à
travers la lentille L2 est notée A2B2.
Q4. Compléter la figure  pour représenter l’image A1B1 formée par la lentille L1 d’un objet AB (représentant l’oie) situé à l’infini


Q5. Placer, en justifiant, le foyer objet F2 de la lentille L2 sur la figure.
La lunette étant afocale, F2 et F'1 sont confondus.
Une lunette astronomique est caractérisée par son grossissement d’expression :
G = a' / a.
avec a l’angle sous lequel l’objet AB est vu à l’oeil nu et a’ l’angle sous lequel l’image A2B2 est vue à travers la
lunette astronomique afocale.
Q6. En considérant les angles a et α' exprimés en radians comme petits, montrer que le grossissement de la
lunette astronomique afocale peut s’exprimer par la relation :
G =f1' / f2'.
Triangle O2F'1B1 : tan a' = A1B1/O2F2 ~ a' .
L'angle étant petit , on confond la tangente avec l'angle en radian.
Triangle O1F'1B1 : tan a = A1B1/O1F1 ~ a .
Grossissement G = a' / a =O1F1 /O2F2 =f '1 / f '2.
Q7. Calculer la valeur du grossissement G de la lunette astronomique afocale.
G = 450 / 30 = 15.
Q8. Indiquer en justifiant si l’observateur voit distinctement, à travers la longue-vue, le bec de l’oie située à 280 m.
a = 0,07 / 280 =2,5 10-4 rad ; a' = 15  x2,5 10-4 =3,75 10-3 rad > 3 10-4 rad.
L’observateur voit distinctement, à travers la longue-vue, le bec de l’oie située à 280 m.

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 3. Structure de la plume d’oie cendrée
Pour identifier l’espèce d’un oiseau, la plume est une des parties du corps de l’animal qu’il est possible d’étudier. Les plumes d’oiseaux sont des objets complexes qui possèdent des structures géométriques périodiques à des échelles différentes, qu’il est possible d’étudier
par des méthodes interférométriques.
L’expérience des fentes d’Young permet d’obtenir sur un écran une figure d’interférences constituée d’une succession de franges brillantes et sombres qui se répartissent sur un axe de direction parallèle à la droite joignant les deux fentes.
La figure suivante donne une schématisation d’une expérience des fentes d’Young, de centres F1 et F2, ainsi qu’une photographie de la figure d’interférences obtenue.

Un faisceau lumineux issu d’un laser de longueur d’onde l, éclaire un objet plan totalement opaque en dehors de deux fentes, séparées d’une distance notée b. Cet objet est appelé objet « fentes d’Young ».
Le faisceau est constitué d’un ensemble de rayons parallèles, et se propage parallèlement à l’axe optique (OO’), le point O étant à égale distance des points F1 et F2 et le point O’ étant situé sur l’écran.
Les ondes issues des fentes interfèrent sur l’écran. En un point M de celui-ci, on admet que la différence de chemin optique entre les deux ondes s’écrit d = F2M – F1M.
L’écran est situé à une distance D des fentes très grande devant la distance b (D >> b).
Q9. Préciser la condition que doit vérifier la différence de chemin optique d pour que les ondes issues des fentes interfèrent de manière constructive au point M. Indiquer en justifiant dans ce cas si la frange au point O’ est brillante ou sombre.
La différence de marche doit être égale à un multiple entier de la longueur d'onde.
En O' : d = F2O' – F1O' = 0 : la frange est donc brillante.
Le point H représente le projeté orthogonal de F1 sur le segment [F2M]. On admet que la différence de chemin optique d est égale à la longueur du segment [F2H].

Q10. Montrer que, dans les conditions de l’expérience (θ << 1 rad), il est possible d’exprimer la différence de chemin optique par la relation suivante :
d = b · q.
tan q = F2H / F1F2 = d / b.
L'angle q étant petit : tan q ~ q.
On montre, avec une très bonne approximation, que l’angle q est égal à l’angle O'OM dans le triangle rectangle O’OM représentéci-dessous. L’abscisse du point M sur l’axe O’x est notée x.

Q11. Après avoir exprimé l’angle q en fonction de D et x, montrer que la différence de chemin optique d a pour expression :
d = b ∙ x / D.
tan q ~q =O'M / OO' = x / D.
De plus d = b · q.
d = b ∙ x / D.
Q12. En déduire l’expression des abscisses xk des franges brillantes, en fonction de l, D, b et d’un entier relatif k.
d = k l = b ∙ x / D.
xk = k l D / b.
Q13. Montrer que l’interfrange i est donnée par l’expression littérale suivante : i = l∙ D /b.
xk = k l D / b ; xk+1 = (k+1) l D / b.
i = xk+1 -xk = l∙ D /b.
La figure suivante montre qu’une plume d’oie est composée d’un ensemble de barbes (tiges) fixées sur le rachis (axe principal de la plume
d’oie). Les barbes supportent des éléments plus petits et fins, invisibles à l’oeil nu, appelés barbules. Les barbes sont régulièrement
espacées d’une distance notée bbarbe, les barbules sont également régulièrement espacées d’une distance notée bbarbule  et sont dans une direction pratiquement perpendiculaire à celle des barbes. Les barbules sont plus resserrées que les barbes, on a donc
bbarbule < bbarbe.

On réalise la même expérience que celle décrite en remplaçant l’objet « fentes d’Young » par une plume d’oie, éclairée avec un laser dont la longueur d’onde est l = 650 nm. L’écran est placé à une distance D = 74 cm de la plume. On obtient alors une figure d’interférences dont la photographie (en négatif) est donnée .
L’écran est rapporté à un repère d’origine O’ et d’axes O’x et O’y orthogonaux.
Dans un modèle très simplifié, il est possible de montrer que les interférences sont constructives uniquement en des points de coordonnées (xk, yℓ), vérifiant les relations
xk = k· l ·D / bbarbe et yℓ = l · l· D / bbarbule.
où k et l sont des entiers relatifs.
Le modèle prévoit que seulement certains de ces points sont lumineux du fait de détails de la géométrie des plumes auxquels on ne s’intéresse pas ici.

Q14. Montrer que le modèle simplifié permet d’expliquer certaines caractéristiques de la figure d’interférences observée sur la figure . Dans les cases vides de cette figure, identifier, en justifiant, l’axe O’x puis l’axe O’y.
bbarbule < bbarbe , donc yℓ > xk .
i2 > i1 : i2 = l∙ D / bbarbule ; i2 = l∙ D / bbarbe.
Q15. En exploitant la figure, évaluer les valeurs des interfranges i1 et i2 puis en déduire les valeurs des espacements bbarbule et bbarbe.
10 i1 = 1 cm ;  i1 = 0,1 cm ; i2 = 1,2 cm.
i2= l∙ D / bbarbule ;  bbarbule.=l∙ D / i2 =650 x74 /1,2 =4,0 104 nm =40 µm.
i1= l∙ D / bbarbe ;  bbarbe.=l∙ D / i1 =650 x74 / 0,1 =4,8 105 nm =480 µm.

  
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