Mathématiques,
suites. Bac Métropole 09 / 2023.
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On
considère la suite (un) définie par :
u1 =1 / e
et pour tout entier n >1, un+1 =(1+1/n) un / e.
1. Calculer les valeurs exactes de u2 et u3. On détaillera les calculs.
Pour n = 1 : u2 =(1+1/1) u1 / e= 2 / e2 .
Pour n = 2 : u3 =(1+1/2) u2 / e= 3 / e3 .
2. On considère une fonction écrite en langage Python qui, pour un entier naturel n donné, affiche
le terme un. Compléter ce programme.
def suite(n):
u = 1 /e
for i in range(1, n):
u=1/e*(1+1/i)*u
return u
3. On admet que tous les termes de la suite (un) sont strictement positifs.
a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, on a : 1+1/ n < e.
n > 1 entraîne 1 / n < 1 et 1 + 1/n < 2 donc 1+1/n < e.
b. En déduire que la suite (un) est décroissante.
1+1/ n < e donc (1+1/n) / e < 1.
tous les termes de la suite (un) sont strictement positifs, alors (1+1/n) / e un < un.
Soit un+1 < un. La suite est décroissante.
c. La suite (un) est-elle convergente? Justifier votre réponse.
La suite est minorée par zéro car un >0.
La suite est décroissante.
D'après le théorème de la convergence monotone, la suite (un) est convergente.
4. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul, on a : un = n / en .
Initialisation : u1 =1 / e, la propriété est vraie au rang 1.
Hérédité : un = n / en est supposé vrai.
un+1 =(1+1/n) un / e = (n+1) / (n e) un = (n+1) / (n e) n / en =(n+1) / en+1.
La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel.
b. En déduire, si elle existe, la limite de la suite (un).
Par croissance comparée x / ex tend vers zéro si x tend vers plus l'infini.
Donc n / en tend vers zéro si n tend vers plus l'infini.
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QCM
1. On considère la fonction f définie sur R par
f (x) = x exp (x2-3).
Une des primitives F de la fonction f sur R est définie par :
F(x) = 2x exp (x2-3).
F(x)= (2x2+1) exp (x2-3).
F(x) = 0,5 x exp (x2-3).
F(x) = 0,5 exp (x2-3).
On dérive F(x) = 2x exp (x2-3) en posant u = 2x et v = exp (x2-3).
u' = 2 ; v' = 2 x exp (x2-3).
u'v +v'u = 2exp (x2-3) +4x2 exp (x2-3) diffère de f(x).
On dérive F(x) = (2x2+1) exp (x2-3) en posant u = 2x2+1 et v = exp (x2-3).
u' = 4x ; v' = 2 x exp (x2-3).
u'v +v'u = 4x exp (x2-3) + (2x2+1) exp (x2-3) diffère de f(x).
On dérive F(x) = 0,5 x exp (x2-3) en posant u = 0,5x et v = exp (x2-3).
u' = 0,5 ; v' = 2 x exp (x2-3).
u'v +v'u = x exp (x2-3) +x2 exp (x2-3) diffère de f(x).
On dérive F(x) = 0,5 exp (x2-3) en posant u = 0,5 et v = exp (x2-3).
u' = 0 ; v' = 2 x exp (x2-3).
u'v +v'u = 0+x exp (x2-3)= f(x).
2. On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :
un = e2n+1.
La suite (un) est :
a. arithmétique de raison 2;
b. géométrique de raison e;
c. géométrique de raison e2 ;
d. convergente vers e.
un+1=exp(2(n+1)+1) = exp(2n+2+1)=e2 e2n+1 =e2 un.
Pour les questions 3. et 4., on considère la suite (un) définie sur N par :
u0 =15 et pour tout entier naturel n : un+1 = 1,2un +12.
3. La fonction Python suivante doit renvoyer la plus petite valeur de l’entier n telle que un > 10000.
def seuil() :
n=0
u=15
while ......:
n=n+1
u=1,2∗u+12
return(n)
À la ligne 4, on complète par :
a. u < 10000 ; b. u = 10000; c. u >10000; d. n <10000.
4. On considère la suite (vn) définie sur N par : vn = un +60.
La suite (vn) est :
a. une suite décroissante ; b. une suite géométrique de raison 1,2 ;
c. une suite arithmétique de raison 60 ; d. une suite ni géométrique ni arithmétique.
vn+1= un+1 +60 = 1,2un +12+60=1,2 (un+60) =1,2 vn.
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