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bac général Métropole
2023.
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Sujet 1. Une entreprise a créé une Foire Aux Questions (« FAQ ») sur son site internet.
On étudie le nombre de questions qui y sont posées chaque mois.
Partie A : Première modélisation
Dans cette partie, on admet que, chaque mois :
- 90% des questions déjà posées le mois précédent sont conservées sur la FAQ ;
- 130 nouvelles questions sont ajoutées à la FAQ.
Au cours du premier mois, 300 questions ont été posées.
Pour estimer le nombre de questions, en centaines, présentes sur la FAQ le n-ième
mois, on modélise la situation ci-dessus à l’aide de la suite (u n
) définie par : u 1 = 3 et, pour tout entier naturel n ≥ 1, u n+1 = 0,9 u n + 1,3.
1. Calculer u 2 et u 3 et proposer une interprétation dans le contexte de l’exercice.
u2 = 0,9 u1 + 1,3=0,9 x3+1,3=4.
u3 = 0,9 u2 + 1,3=0,9 x4+1,3=4,9.
Le deuxième mois, 400 questions sont posées et 490 le mois suivant.
2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 1 : u n = 13 −
100
/9
× 0,9 n
.
Initialisation : u 2 = 13-100 / 9 x0,9 2 =4 est vraie.
Hérédité : un = 13 −
100
/9
× 0,9n
.est supposée vraie.
un+1 = 0,9 un + 1,3 = 0,9 (13-100 / 9 x0,9n) +1,3 =13-100 / 9 x0,9n+1.
La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire ; elle est vraie pour tout entier naturel.
3. En déduire que la suite (u n) est croissante.
u n+1-un = 13-100 / 9 x0,9n+1 -(13 −
100
/9
× 0,9n)=
100
/9
× 0,9n(1-0,9) >0.
La suite est croissante..
4. On considère le programme ci-dessous, écrit en
langage Python.
Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de
seuil(8.5) et l’interpréter dans le contexte
de l’exercice.
def seuil(p) :
n =1
u=3
while u <=p:
n=n+1
u =0,9*u+1.3
return n
Ce programme renvoie la plus petite valeur de n telle que un >8,5.
un = 13 −
100
/9
× 0,9n > 8,5.
13-8,5 > 100 / 9 x0,9n.
4,5 / 100 x9 >0,9n ; 4,05 > 0,9n.
ln(0,405) > n ln(0,9) ; n > ln(0,405) / ln(0,9).
n > 9.
Partie B : Une autre modélisation
Dans cette partie, on considère une seconde modélisation à l’aide d’une nouvelle
suite (v n) définie pour tout entier naturel n ≥ 1 par : v n = 9 − 6 × exp(
−0,19×(n−1))
.
Le terme v n est une estimation du nombre de questions, en centaines, présentes le n-ième mois sur la FAQ.
1. Préciser les valeurs arrondies au centième de v 1 et v 2.
v1 = 9 − 6 × exp(
−0,19×(1−1))=3.
v2 = 9 − 6 × exp(
−0,19×(2−1))
=9-6 exp(-0,19)~4,04.
2. Déterminer, en justifiant la réponse, la plus petite valeur de 𝑛 telle que v n > 8,5.
9 − 6 × exp(
−0,19×(n−1)) > 8,5.
0,5 > 6 × exp(
−0,19×(n−1))
0,5 / 6 >exp(
−0,19×(n−1))
ln(0,5 / 6) > -0,19(n-1) ;
-ln(0,5 / 6) /0,19 < n-1.
n > 1+13,07 ; n = 15.
Partie C : Comparaison des deux modèles
1. L’entreprise considère qu’elle doit modifier la présentation de son site lorsque
plus de 850 questions sont présentes sur la FAQ. Parmi ces deux
modélisations, laquelle conduit à procéder le plus tôt à cette modification ?
Justifier votre réponse.
Modélisation n°2 : n = 15.
Modélisation n°1 : n = 9.
2. En justifiant la réponse, pour quelle modélisation y a-t-il le plus grand nombre
de questions sur la FAQ à long terme ?
Modélisation n°1 : un = 13 −
100
/9
× 0,9n
.
-1 < 0,9 < 1 ; 0,9n tend vers zéro si n tend vers plus l'infini. un tend vers 13 (1300 questions).
Modélisation n°2 : vn = 9 − 6 × exp(
−0,19×(n−1))
exp(
−0,19×(n−1)) tend vers zéro si n tend vers plus l'infini et vn tend vers 9 ( 900 questions).
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Sujet 2.
Des biologistes étudient l’évolution d’une population d’insectes dans un jardin botanique.
Au début de l’étude la population est de 100 000 insectes.
Pour préserver l’équilibre du milieu naturel le nombre d’insectes ne doit pas dépasser 400 000.
Partie A : Étude d’un premier modèle en laboratoire
L’observation de l’évolution de ces populations d’insectes en laboratoire, en l’absence de tout
prédateur, montre que le nombre d’insectes augmente de 60 % chaque mois.
En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l’évolution de la population
d’insectes à l’aide d’une suite (un) où, pour tout entier naturel n, un modélise le nombre
d’insectes, exprimé en millions, au bout de n mois.
On a donc u0 = 0,1.
1. Justifier que pour tout entier naturel n : un = 0,1 × 1,6n.
Chaque mois le nombre d'insectes est multiplié par 1,6.
Initialement il y avait 0,1 million d'insectes.
.2. Déterminer la limite de la suite (un).
1,6 > 1 ; 1,6n tend vers plus l'infini si n devient très grand.
0,1 × 1,6n tend vers plus l'infini.
3. En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel n à partir duquel un > 0,4.
0,1 × 1,6n > 0,4.
1,6n > 4.
n ln(1,6) > ln(4) ; n > ln(4) / ln(1,6) ; n >2,95 ; n = 3.
4. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse.
Au bout de 3 mois, le nombre d'insectes atteint puis va dépasser 4 millions. Le milieu naturel n'est pas préservé.
Partie B : Étude d’un second modèle
En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les
biologistes choisissent une nouvelle modélisation.
Ils modélisent le nombre d’insectes à l’aide de la suite (vn), définie par : v0 = 0,1 et, pour tout
entier naturel vn+1 = 1,6vn − 1,6vn2, où, pour tout entier naturel vn est le nombre d’insectes,
exprimé en millions, au bout de n mois.
1. Déterminer le nombre d’insectes au bout d’un mois.
v1=1,6v0 − 1,6v02=1,6 x0,1-1,6x0,12 =0,144.
2. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 0,5] par f(x) = 1,6 x -1,6x2.
a. Résoudre l’équation f(x) =x.
1,6 x -1,6x2 = x.
0,6 x -1,6 x2=0.
x(0,6 -1,6x) =0.
x=0 et x = 0,375.
b. Montrer que la fonction f(x) est croissante sur l’intervalle [0 ; 0,5].
f '(x) = 1,6 -3,2 x.
f '(x) = 0 si x = 1,6 / 3,2 =0,5.
f '(x) > 0 si x appartient à [0 ; 0,5] et f(x) est croissante.
3. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 ≤ vn ≤ vn+1 ≤ 0,5
.
Initialisation : v0 = 0,1 ; v1= 0,144. La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : 0 ≤ vn ≤ vn+1 ≤ 0,5
.est supposée vraie.
f est croissante sur [0 ; 0,5], on a f(0) < f(vn) < f(vn+1) < f(0,5).
f(0) =0 ; f(0,5)= 0,4 < 0,5.
0 < vn+1 < vn+2 < 0,5. La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire ; elle est vraie pour tout entier naturel.
b. Montrer que la suite (vn) est convergente.
D'après la question précédente, la suite est croissante et majorée par 0,5, donc elle converge.
On note l la valeur de sa limite. On admet que l est solution de l’équation f(x) = x.
c. Déterminer la valeur de l. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel sera-t-il
préservé ? Justifier la réponse.
Solution de f(x) = x : x=0 et x = 0,375 ; l = 0,375.
Le nombre d'insectes tend vers 375 000 < 400 000 ; le milieu sera respecté.
4. On donne ci-dessous la fonction seuil, écrite en langage Python.
def seuil(a)
v = 0,1
n = 0
while v < a
v = 1.6*v-1.6*v*v
n=n+1
return n
a. Qu’observe-t-on si on saisit seuil(0.4) ?
La suite est croissante et majorée par 0,375. Si a = 0,4 le programme ne termine pas.
b. Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(0.35).
Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
Pour a = 0,35, la fonction renvoie 6. Au bout de 6 mois le nombre d'insectes sera supérieur à 350 000.
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