Fonctions, Mathématiques, bac général Métropole 2023.

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Sujet 1.
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +oo[ par f(x) = x2 − 8 ln(x), où ln désigne la fonction logarithme népérien. On admet que f est dérivable sur ]0 ; +oo[, on note f 'sa fonction dérivée.
1. Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers zéro.
x2 tend vers zéro ; ln(x) tend vers moins l'infini ; - ln(x) tend vers plus l'infini.
f(x) tend vers plus l'infini.
. 2. On admet que, pour tout x > 0, f(x) = x2 (1 − 8 ln(𝑥) x2  . En déduire la limite de f(x) en plus l'infini.
x2 tend vers plus l'infini ; par croissance comparée, ln(x) / x2 tend vers zéro ; f(x) tend vers plus l'infini.
 3. Montrer que, pour tout réel x de ]0 ; +oo[, f ' (x) = 2(x2−4)/ x .
f '(x) = 2x -8 / x =( 2x2-8) / x =2(x2−4)/ x .
4. Étudier les variations de f sur ]0 ; +∞[ et dresser son tableau de variations complet. On précisera la valeur exacte du minimum de f sur ]0 ; +oo[ .

5. Démontrer que, sur l’intervalle ]0 ; 2], l’équation f(x) = 0 admet une solution unique a (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de a).
D'après le tableau de vaariation, l'équation f(x) =0 admet une solution unique sur ]0 ; 2[.
6. On admet que, sur l’intervalle [2 ; +∞[, l’équation f(x) = 0 admet une solution unique ß (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de ß). En déduire le signe de f sur l’intervalle ]0 ; +oo[.
f(x) >0 sur ]0 ; a [ et sur ]ß ; +oo[ ; f(x) < 0 sur ]a ; ß [.
7. Pour tout nombre réel k, on considère la fonction gk définie sur ]0 ; +oo[ par : gk(x) = x2 − 8 ln(x) +k . En s’aidant du tableau de variations de f, déterminer la plus petite valeur de k pour laquelle la fonction gk est positive sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
Le minimum de f(x) est égal à 4-8ln(2).
Donc f(x) > 4-8ln(2).
gk(x) =f(x) +k.
4-8ln(2) + k >0 ;
k > 8 ln(2) -4.
La plus petite valeur de k pour laquelle la fonction gk est positive sur l’intervalle ]0 ; +∞[ est k =8ln(2)-4.

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 Sujet 2.
On considère la fonction f définie sur R par f(x) = ln (1 + e-x), où ln désigne la fonction logarithme népérien. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé. La courbe C est tracée ci-dessous.

1. a. Déterminer la limite de la fonction f en −oo.
e-x tend vers plus l'infini ;
 b. Déterminer la limite de la fonction f en +oo. Interpréter graphiquement ce résultat.
e-x tend vers zéro ; f(x) tend vers ln(1) =0.
L'axe des  abscisses est asymptote à la courbe C.
 c. On admet que la fonction f est dérivable sur R et on note f ′ sa fonction dérivée. Calculer f '(x) puis montrer que f '(x) = -1 / (1+ex).
On pose u = 1+e-x ; u' = ex ; f  '(x) = -e-x/ (1+e-x ) = -1 /( (1+ex).
  d. Dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur R.

 2. On note T0 la tangente à la courbe C en son point d’abscisse 0.
 a. Déterminer une équation de la tangente T0.
Coefficient directeur de cette tangente : f '(0) = -0,5.
Le point  de coordonnées (0 ; f(0) =ln(2) appartient à T0 :
y = -0,5 x +b ; ln(2) = b.
y = -0,5x +ln(2).
 b. Montrer que la fonction f est convexe sur R.
On pose u =-1 et v = 1+ex. u' = 0 ; v' = ex.
f "(x)=(u'v-v'u) / v2 =ex /(1+ex)2 >0.
La dérivée seconde étant positive, la fonction est convexe.
 c. En déduire que, pour tout nombre réel x, on a : f(x) >  −0,5x + ln(2).
La fonction étant convexe, sa courbe représentative se situe au dessus de toutes ces tangentes.
f(x) >  −0,5x + ln(2).
 3. Pour tout nombre réel a différent de 0, on note Ma et Na les points de la courbe C d’abscisses respectives −a et a. On a donc : Ma(-a ; f(-a)) et Na(a ; f(a)).
 a. Montrer que, pour tout nombre réel x, on a : f(x)-f(-x)= -x.
f(x) -f(-x) +x= ln(1+e-x) -ln(1+ex)+ln(ex) =ln[(1+e-x)ex / (1+ex)] = ln[(1+ex) / (1+ex)] ln(1) = 0.
Donc f(x)-f(-x)= -x.
 b. En déduire que les droites T0 et (MaNa) sont parallèles.
Coordonnées du vecteur MaNa : ( a-(-a) ; f(a)-f(-a)) soit (2a ; -a)
Coefficient directeur de la droite (MaNa) : -a /(2a) = -0,5.
T0 et (MaNa) ont le même coefficient directeur, donc elles sont parallèles.

  
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