Correctement calibré, un système
d’arrosage automatique de végétaux permet un arrosage homogène, à un
moment opportun et sans gaspillage d’eau. À cet effet, il peut être
déclenché grâce à l’utilisation d’un détecteur
capacitif d’humidité du sol.
L’objectif de cet exercice est d’étudier une modélisation simple d’un
détecteur capacitif d’humidité puis de
l’utiliser pour illustrer le principe d’une mesure de la teneur en eau
d’un sol.
Données : le détecteur capacitif d’humidité est modélisé par un
condensateur plan dont la
capacité C varie en fonction de l’humidité du sol ; le
condensateur est constitué de deux plaques (ou armatures) métalliques
de surface S séparées
d’une distance d plantées dans un sol de permittivité
e ;
on appelle « teneur en eau » le pourcentage volumique d’eau dans le sol
;
on présente la courbe de la permittivité
e d’un sol argileux en
fonction de sa teneur en eau :
1. Modélisation de la
charge du condensateur
Q1. Prévoir
qualitativement le sens de variation de la capacité C du détecteur
capacitif d’humidité quand la
teneur en eau d’un sol argileux augmente.
La permittivité
e
augmente avec la teneur en eau.
C =
eS / d : à S
et d constants, si
e
croît, alors la capacité augmente.
Le condensateur de capacité C, modélisant le détecteur, est branché en
série avec un générateur délivrant
une tension constante E, un interrupteur K et un conducteur ohmique de
résistance R. Le circuit ainsi constitué
est modélisé par un circuit de type RC représenté ci-dessous :
À la date t = 0 s, le condensateur est déchargé et on ferme
l’interrupteur. On souhaite établir l’expression de
la tension u
C (t) aux bornes du condensateur.
Q2. Montrer que la
tension aux bornes du condensateur obéit à l’équation différentielle
ci-dessous. Exprimer
littéralement le temps caractéristique
t du circuit en fonction de
R et de C.
t×
du
C
dt + u
C = E.
Additivité des tensions : u
R(t) + u
C(t) = E.
uR(t)
=R i(t) avec i(t) = dq(t) / dt = C duC(t) /dt.
RC duC(t) /dt.+ uC(t) = E.
On pose t = RC.
t×
duC
dt + uC = E.
Q3. Vérifier que la
fonction u
C(t) = E × (1 – exp(-t /
t)) est solution de cette
équation différentielle et qu’elle satisfait
à la condition imposée à la date t = 0 s.
duC
/dt = E / t exp(-t / t) ; t×
duC
dt =E exp(-t / t).
Repport dans l'équation : E exp(-t / t)
+E ×
(1 – exp(-t / t))
=E est vérifiée quelque soit le temps.
uC(t=0)
= E × (1 – exp(-0 / t))=E(1-1)
= 0 est également vérifié.
Q4. Montrer
que la valeur de u
C à l’instant τ est approximativement : u
C(
t) = 0,63 × E
uC(t) =E(1-exp(-1)) ~ E(1-0,37)
=0,63E.
2.
Modélisation de la mesure de la teneur en eau d’un sol argileux.
La mesure du temps caractéristique du circuit RC permet d’accéder
à la valeur de la teneur en eau du sol.
Cette mesure est réalisée à l’aide d’un microcontrôleur connecté au
circuit RC décrit ci-dessus. Il permet entre
autres :
- de commander des alternances charge – décharge du condensateur ;
- de mesurer la tension aux bornes du condensateur ;
- d’afficher, après calcul, la valeur de la teneur en eau.
Pour déterminer le temps caractéristique du circuit RC, on enregistre
l’évolution temporelle de la tension aux
bornes du condensateur à l’aide du microcontrôleur ; celui-ci relève 52
000 valeurs de la tension par seconde.
Pour que la mesure soit suffisamment précise, on doit disposer d’au
moins 10 valeurs de tension aux bornes
du condensateur avant d’atteindre le temps caractéristique du circuit
RC.
Q5. Montrer que le
temps caractéristique
t du
circuit RC doit être au minimum de l’ordre de 200 µs.
10 /52 000 =1,9 10
-4 s ou environ 200 µs.
Le condensateur possède les caractéristiques géométriques
suivantes : S = 1,0×10
–1 m
2 et d = 1,0×10
–2
m.
La valeur de la résistance R du circuit est R = 2,2×10
5 W.
Q6. À l’aide de la
contrainte sur le temps caractéristique
t du circuit RC, déterminer
la teneur minimale en eau
d’un sol argileux qu’il est possible de mesurer avec ce dispositif.
t =
2,2 10
5 x C
>
2 10-4
s.
C > 2 10-4 / (2,2 105)=9,1
10-10 F.
eS / d
>9,1 10-10 ; e >9,1 10-10 d / S
=9,1 10-10 x 10-2 / 0,1=9,1 10-11 F m-1.
