QCM Mathématiques, bac général Centres étrangers 2023.

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.

.
. . .

.
.
.. ..
......


...
QCM. (5 points)
Question 1 : On considère la suite numérique (un) définie pour tout n entier naturel par un = (1+2n) / (3+5n). Cette suite :
 a) diverge vers +∞  ; b) converge vers 2 / 5 ; c) converge vers 0  ;d) converge vers 1/ 3.
un = 2n(1 / 2n+1) / [5n(1 / 5n +1)] =(2 / 5)n (1 / 2n+1) / (1 / 5n +1).
Quand n tend vers plus l'infini : (2 / 5)n ,1 / 2n, 1 / 5n tendent vers zéro ; un tend vers zéro.
Réponse c.

Question 2 : Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par f(x) = x2ln(x). L’expression de la fonction dérivée de f est :
 a) f '(x) = 2xln(x). b) f '(x) = x(2ln(x)+1). c) f '(x) =2. d) f '(x) = x.
On pose u = x2; v = ln(x) ; u' = 2x ; v' = 1 /x.
u'v+v'u =2x ln(x) + x = x(2 ln(x) +1). Réponse b.

Question 3 : On considère une fonction h définie et continue sur R dont le tableau de variation est donné ci-dessous :

On note H la primitive de h définie sur R qui s’annule en 0. Elle vérifie la propriété :
a) H positive sur ]−∞ ; 0]. b) H négative sur ]−∞ ; 1]. c) H croissante sur ]−∞ ; 1]. d) H croissante sur R.
h(x)  < 0 sur ]-oo ; 1], donc H(x) est décroissante sur cet intervalle et donc sur ]-oo ; 0].
Or H(0) = 1.
Donc pour tout x < 0; H(x) > H(0), soit H(x) > 0. Réponse a.

Question 4 : Soit deux réels a et b avec a < b. On considère une fonction f définie, continue, strictement croissante sur l’intervalle [a ; b] et qui s’annule en un réel a. Parmi les propositions suivantes, la fonction en langage Python qui permet de donner une valeur approchée de a à 0,001 est :
 
Question 5 : Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher dont 7 sont bleues et les autres vertes. On effectue trois tirages successifs avec remise. La probabilité d’obtenir exactement deux boules vertes est :
a) (7 / 10)2 x3 / 10 ; b) (3 / 10)2 ; c) (10  2) (7 /10)(3/10)2 ; d) (3  2) (7 /10)(3/10)2 .
Probabilité de tirer une boule verte 3 / 10 ; probabilité de tirer une boule bleue 7 / 10.
Probabilité de tirer exactement deux boules verte : (3  2) (7 /10)(3/10)2 . Réponse d.
 
Exercice 4 (3 points) Un biologiste a modélisé l’évolution d’une population de bactéries (en milliers d’entités) par la fonction f définie sur [0; +∞[ par f(t) = e3 − exp(−0.5t2+t+2 ) où t désigne le temps en heures depuis le début de l’expérience. À partir de cette modélisation, il propose les trois affirmations ci-dessous. Pour chacune d’elles, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.
• Affirmation 1 : « La population augmente en permanence ».
 • Affirmation 2 : « À très long terme, la population dépassera 21 000 bactéries ».
• Affirmation 3 : « La population de bactéries aura un effectif de 10 000 à deux reprises au cours du temps ».
f '(t) = -(-t+1)exp(−0.5t2+t+2 ) = (t-1)exp(−0.5t2+t+2 )
Si t  < 1, f  '(t) est négative et f(t) décroît ; Si t  > 1, f  '(t) est positive et f(t) croît ; l'afirmation 1 est fausse.
Si t tend vers plus l'infini, le terme en exponentielle tend vers zéro et la population tend vers e3~20 soit 20 000 bactérie. L'affirmation 2 est fausse.
f(t) présente un minimum pour t = 1 soit f(1) =e3-32,5 ~7,9 ( 7900 bactéries). L'affirmation 3 est vraie.

...
....

 Exercice 3.
La fonction 𝑓 est définie sur [0; +∞[ par : f(x) = x exp(0,02x) − 10 000.
1. Déterminer la limite de f(x) en plus l'infini.
exp(0,02x) tend vers plus l'infini ; par produit des limites f(x) tend vers plus l'infini.
 2. On note f ' la fonction dérivée de f sur [0; +∞[. Justifier que pour tout nombre réel 𝑥 ≥ 0, f '(x) = (0,02𝑥 + 1)exp(0,02x)
On pose u = x et v = exp(0,02x) ; u' = 1 ; v' = 0,02 exp(0,02x).
u'v+v'u = exp(0,02x) +0,02 x exp(0,02x) = f '(x) = (0,02𝑥 + 1)exp(0,02x).
 3. En déduire le sens de variation de 𝑓 sur [0; +∞[ .
exp(0,02x) >0 ; 0,02x+1 > : la dérivée est strictement positive et f(x) est strictement croissante.
 4. L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
« Tout nombre réel x, compris entre 0 et 1000, a une image négative par f. »
f(0) = -10 000 ; f(1000) ~4,85 1011. L'affirmation est fausse.
 5. Quatre fonctions A, B, C et D sont écrites dans le même programme Python ci-dessous. Laquelle de ces quatre fonctions permet de déterminer la plus petite valeur entière dont l’image par f est positive ?
def B():
 n=0
f = –10000
 while f <0:
 n=n+1
 f =n *exp(0.02 * n) –10000
 return n

QCM.
  Question 1 : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = xex. Une primitive F sur R de la fonction f est définie par :
A. F(x) = ½x2 ex ; B. F(x) = (x-1)ex vrai ; C. F(x) = (x+1)ex ;  D. F(x) = ½x exp(x2).
On dérive F(x) = ½x2 ex en posant u = ½x2 et v = ex.
u' = x ; v' =ex ; u'v+v'u=xex+½x2 ex diffère de f(x).
On dérive F(x) = (x-1)ex en posant u = x-1 et v = ex.
u' = 1 ; v' =ex ; u'v+v'u=ex+(x-1) ex= f(x).

Question 2 :
La courbe C ci-dessous représente une fonction f définie et deux fois dérivable sur ]0; +∞[. On sait que :
• le maximum de la fonction f est atteint au point d’abscisse 3 ;
 • le point P d’abscisse 5 est l’unique point d’inflexion de la courbe C. 

On a : A. pour tout x ∈ ]0; 5[, f(x)) et f '′ (x) sont de même signe ; B. pour tout x ∈ ]5; +∞[, f(x) et f '(x) sont de même signe ;
 C. pour tout x ∈ ]0; 5[, f ' (x) et f "(x) sont de même signe ;  D. pour tout x ∈ ]5; +∞[, f(x) et f "(x) sont de même signe. Vrai.
f(x) est convexe sur [5 ; +oo[, donc f "(x) >0.
f(x) >0 sur [5 ; +oo[.

Question 3 :
 On considère la fonction g définie sur [0; +∞[ par g(t)= a /(b +e-t) où a et b sont deux nombres réels.
On sait que g(0) = 2 et que la limite de g(t) en plus l'infini est égale à 3.
 Les valeurs de a et b sont :
A. a = 2 et b = 3 ;  B. a = 4 et b = 4 / 3  ; C. a = 4 et b = 1 ; D. a = 6 et b = 2. Vrai.
g(0) = a / (b+1) = 2 soit a = 2b+2.
e-t tend vers zéro si t tend vers plus l'infini et g(t) tend vers a/b = 3 soit a = 3b.
Par suite  3b=2b+2 ; b=2 et a = 6.

Question 4 :
 Alice dispose de deux urnes A et B contenant chacune quatre boules indiscernables au toucher. L’urne A contient deux boules vertes et deux boules rouges. L’urne B contient trois boules vertes et une boule rouge. Alice choisit au hasard une urne puis une boule dans cette urne. Elle obtient une boule verte. La probabilité qu’elle ait choisi l’urne B est :
 A. 3 /8 ; B. 1/ 2  ; C. 3/ 5 vrai ; D. 5/ 8.
On note les événements suivants : A : choisir l'urne A ; B : choisir l'urne B et V : tirer une boule verte.
p(V) = p(A n V) + P(b n V) = 0,5 x 0,5 +0,5 x 3 /4 = 1 /4 +3 /8 =5 /8.
Puis pV(B) =p(V n B) / p(V) =0,5 x 3/4 / (5 / 8) =3 / 5.

Question 5 :
On pose S = 1 + 1/ 2 + 1 /3 + 1 /4 + ⋯ + 1 /100. Parmi les scripts Python ci-dessous, celui qui permet de calculer la somme S est :


  
menu