Etude des agrégats d'eau, bac général Asie 2023.

Pour étudier la formation des gouttelettes d'eau dans l'atmosphère, il est possible en laboratoire de reconstituer de très petites gouttelettes contenant quelques dizaines de molécules d'eau, appelées agr6gats, et qui peuvent grossir par < collage > de molécules d'eau supplémentaires. La masse de ces agrégats est un paramètre important pour comprendre le mécanisme de formation de la pluie. On cherche donc à mesurer la masse de ces agrégats pour mieux les étudier. L'objectif de cet exercice est d'illustrer le principe de la détermination de la masse des agrégats par l'utilisation d'un accélérateur linéaire. Le dispositif expérimental est schématisé ci-dessous. On injecte à l'entrée de la zone de collision des agrégats constitués de N = 50 molécules d'eau. Chaque agrégat porte une charge électrique q positive. Les agrégats peuvent subir des collisions avec des molécules d'eau dans cette zone de collision. On cherche à déterminer la masse des agrégats à la sortie de la zone de collision pour savoir si des molécules d'eau se sont collées aux agrégats. Pour cela, les agrégats passent, après la zone de collision, dans une zone d'accélération constituée de deux armatures métalliques A et B distantes de 10 cm, percées chacune d'un trou en leur centre, et aux bornes desquelles on applique une tension U = 10 kV. A la sortie de la zone d'accéléération, les agrégats entrent dans une zone de déplacement libre ou règne un vide poussé. On enregistre alors le temps de vol des agrégats, c'estd-dire la durée pour parcourir la distance D entre la plaque B et le détecteur. La mesure du temps de vol permet de déterminer la masse m de l'agrégat.
Données
- Charge d'un agrégat: q=1,6 10^-19 C
- Tension entre les plaques A et B : U = 10,0 kV
- Distance entre les plaques : AB = 10 cm
Nombre d'Avogadro : N_A = 6,02x10²³ mol^-1 .

1. Montrer que la masse m₁ d'un agrégat contenant N = 50 molécules d'eau est d'environ 1,50x10^-24 kg et expliquer pourquoi il n'est pas possible de déterminer cette masse directement.
m₁ = M(eau) / N_A x50 =18 x 50 / (6,02 10²³)=1,5 10^-21 g.
Valeur trop petite pour être déterminée directement.
2. Sur un schéma, représenter le vecteur champ électrique E dans la zone d'accélération et déterminer sa valeur E.
E = U / AB =10,0 10³ / 0,1 =1,0 10⁵ V / m.
3. Donner les caractéristiques (direction, sens, valeur) de la force électrique F qui s'exerce sur un agrégat dans la zone d'accélération.
F a même direction et même sens que le champ, la charge q étant positive.
F = q E =1,6 10^-19 x 1,0 10⁵=1,6 10^-14 N.
4. Montrer, en comparant les valeurs P, du poids d'un agrégat et F de la force électrique, qu'il est possible de négliger l'effet du poids devant celui de la force électrique.
P = m₁g = 1,5 10^-21 x9,81 ~1,5 10^-20 << F.
5. Exprimer le travail W de la force électrique dans la zone d'accélération en fonction de q et U.
W = F AB = q E AB = q U
La vitesse v_A d'un agrégat de masse m entrant dans la zone d'accélération est négligeable devant la vitesse de sortie v_B.
6. En utilisant le théorème de l'énergie cinétique, montrer que la vitesse en sortie de zone d'accélération est donnée par
v_B = (2qU / m)^½.
Théorème de l'énergie cinétique entre A et B : ½mv_B²-0 = qE ; v_B = (2qU / m)^½.
7. En négligeant le poids de l'agrégat dans la zone de déplacement libre, décrire le mouvement de l'agrégat dans la zone de déplacement libre.
L'agrégat n'est soumis à aucune force et sa vitesse initiale n'est pas nulle : d'après la première loi de Newton, le mouvement est rectiligne uniforme.
On désigne par Dt la durée qu'il faut d l'agrégat pour parcourir la distance D dans la zone de déplacement libre. Cette durée est également appelée < temps de vol >.
8. Montrer que la durée Dt est proportionnelle à m^½ et en déduire que la mesure de Dt permet de déterminer la masse de l'agrégat.
D =v_B Dt =(2qU / m)^½Dt.
Dt = D m^½ /(2qU).
Lorsque l'on enregistre le temps de vol pour chaque agrégat qui arrive sur le détecteur, on obtient des résultats similaires d ceux donnés sur la figure suivante. Le pic principal, dit de référence, correspond aux agrégats constitués de 50 molécules d'eau.
9. Déterminer le nombre de molécules d'eau qui constituent les agrégats du deuxième pic.

Référence : Dt = D m₁^½ /(2qU) = 43,23 µs.
Agrégat : D m^½ /(2qU) = 43,66 µs.
(m / m₁)^½ =43,66 / 43,23 ;
m / m₁=1,02.
On appelle n le nombre de molécules d'eau dans l'agrégat.
m / m₁=n / 50 ; n = 50 x1,02 = 51 molécules.