Physique, Concours interne ingénieurs de l'industrie et des mines 2022.

Exercice 1.
On considère une onde lumineuse, dans l'air, réfléchie sur une couche mince d'épaisseur (t), d'indice n₁, déposée sur un matérieau d'indice n₂. F₁ est l'onde réfléchie sur la couche mince, F₂ l'onde réfléchie à l'interface matériau / couche mince après traversée de celle-ci. On considère que l'angle d'incidence de l'onde lumineuse est quasi normal.

On note :
F₁=E₁ sin (a₁-wt) avec a₁ = kx+e₁.
F₂=E₂ sin (a₂-wt) avec a₂ = kx+e₂.
E₁/E₂ est respectivement l'ampliitude de l'onde F₁/F₂ : k est le nombre d'onde ; w la pulsation ; e la phase à l'origine ; x la distance depuis la source.
Coefficient de réflexion à l'interfce de 2 milieux d'indice n et n' : R = (n'-n) / (n'+n).
1. En utilisant l'identité sin( A-B) = sin A cos B - cos A sin B, montrer que l'on peut écriire F' = F₁+F₂ = E sin( a-wt). Commenter ce résultat.
sin (a₁-wt) = sin a₁ cos (-wt)- cos a₁ sin(-wt)= sin a₁ cos (wt) + cos a₁ sin(wt).
sin (a₂-wt) = sin a₂ cos (-wt)- cos a₂ sin(-wt)= sin a₂ cos (wt) + cos a₂ sin(wt).
F₁+F₂ =E₁ sin (a₁-wt) +E₂ sin (a₂-wt).
F₁+F₂ =E₁ [sin a₁ cos (wt) + cos a₁ sin(wt) ] +E₂ [sin a₂ cos (wt) + cos a₂ sin(wt) ] .
F₁+F₂ =cos (wt) [E₁ sin a₁ +E₂ sin a₂ ] + sin(wt)[E₁ cos a₁ +E₂ cos a₂ ].

E sin( a-wt) = E [ sin a cos (wt)-cos a sin (wt)].
On identifie : E sin a =E₁ sin a₁ +E₂ sin a₂ .
E cos a = -[E₁ cos a₁ +E₂ cos a₂ ].
L'onde réfléchie a même fréquence que l'onde incidente. Par contre son amplitude n'est pas constante.

2. Exprimer a en fonction de E₁, E₂, a₁ et a₂.
tan a = - [E₁ sin a₁ +E₂ sin a₂] / [E₁ cos a₁ +E₂ cos a₂ ].

3. Montrer que E² = E₁²+E₂²+2E₁E₂ cos(a₂-a₁).
E² sin² a =E²₁ sin² a₁ +E²₂ sin² a₂ +2E₁E₂sin a₁ sin a₂ .
E² cos² a =E²₁ cos² a₁ +E²₂ cos² a₂ +2E₁E₂cos a₁ cos a₂ .
On ajoute : E² = E₁²+E₂²+2E₁E₂ ( sin a₁ sin a₂+cos a₁ cos a₂).
sin a₁ sin a₂+cos a₁ cos a₂)= cos(a₂-a₁).

4. Expliciter la différence de chemin optique d entre les ondes F₁ et F₂.
L'angle d'incidence de l'onde lumineuse est quasi normal, la différence de chemin optique est égale à 2 épaisseur de la couche mince.
d = 2 t.
5. On souhaite réaliser un filtre anti-reflet pour des lunettes de vue. Quelle est l'épaisseur minimum de la couche mince à dépooser sur les verre permettant de minimiser les réflexion pour une onde lumineuse de longueur d'onde l ? Donner un ordre de grandeur approximatif.
Les interférences doivent être destructrices.
d = 2 t =(2k+1) l /2.
t_mini= l / 4 soit 500 / 4 = 125 nm pour une onde de longueur d'onde 500 nm, la plus sensible pour l'oeil humain.

6. Même avec une épaisseur idéale, un anti-reflet de fluorure de magnésium ( n=1,38) ne pourra pas minimiser entièrement les réflexions sur un verre d'indice n = 1,53. Pourquoi ? Que est la fraction de lumière réfléchie ?
Seule la réflexion est entierement supprimée en incidence normale pour des longueurs d'onde proches de 500 nm.
Coefficient de réflexion à l'interfce de 2 milieux d'indice n et n' : R = (n'-n) / (n'+n).
R = (1,53-1,38) / ((1,53 +1,38) =0,15 / 2,91 ~0,05.

7. Comment choisir l'indice de la couche mince pour que toute la lumière soit transmise ? Quelle valeur de n₁ faudrait-il choisir si n₂ = 1,5 ?
Les ondes réfléchies qui interfèrent de manière destructive ( déphasage p ) doivent avoir la même amplitude E₁=E₂.
E² = E₁²+E₂²+2E₁E₂ cos(p) = 0.
Coefficient de réflexion air - couche anti-reflet d'indice n₁ : R₁ = (n₁-1) / (n₁+1).
Coefficient de réflexion couche antireflet d'indice n₁ verre d'indice n₂ : R₂ = (n₂-n₁)/ (n₂+n₁).
La réflexion est annulée ( toute la lumière est transmise) si : R₁ = R₂ .
(n₁-1) / (n₁+1) = (n₂-n₁)/ (n₂+n₁).
n₁ n₂-n₁ +n₂-n₁²= n₁n₂ +n₁²-n₂-n₁.
2n₁²=2n₂.
n₁ = n₂^½ =1,5^½~1,22.

8. Le filtres anti-reflet peuvent être constitués de plusieurs couches. Quel est l'intérêt et l'inconvénient principal d'augmenter le nombre de couches ?
Intérêt : les propriétés anti-reflet sont conservées au voisinage des longueurs d'onde proches des UV et des IR, c'est à dire sur toute la gamme du visible.