Une
cuve de récupération d’eau de pluie est équipée d’un capteur capacitif
de niveau
d’eau : la cuve parallélépipédique est munie, sur l’extérieur de deux
de ses faces verticales,
de plaques métalliques qui constituent les électrodes d’un condensateur
plan.
La cuve ainsi que l’air et l’eau qu’elle contient jouent le rôle de
l’isolant entre les électrodes
et l’on peut considérer que la capacité C du condensateur est
proportionnelle au volume
d’eau V présent dans la cuve : V = A × C (A : coefficient constant).
Ainsi, une fois ce composant inséré dans un circuit électronique
adéquat, il est possible de
déterminer et de faire afficher sur un écran de contrôle le volume
d’eau présent dans la
cuve, mais il faut pour cela connaître la valeur du coefficient A.
On souhaite la déterminer à partir d’une mesure de la capacité du
condensateur, notée C
1
lorsque la cuve contient un volume d’eau V
1=235 litres.
Le circuit électrique ci-dessous permet de charger et de décharger le
condensateur.
Le générateur fournit une tension constante E = 12 V et la résistance
vaut R=9,5 k
W.
On note +q(t) et -q(t) les charges opposées portées par les deux
armatures, et i(t) l’intensité du courant qui
traverse le condensateur à l’instant t.
III-1- Donner
l’expression de i(t) en fonction de q(t).
i = dq(t) / dt.
III-2- Quelle relation
lie u
c(t), C
1 et q(t) ?
q(t) = C
1 u
c(t).
Le condensateur étant initialement déchargé, l’interrupteur K est
basculé
en position 1 à l’instant t = 0.
On introduit la grandeur
t
= R × C
1.
III-3- Choisir la
réponse correcte
correspondant à l’équation différentielle vérifiée par u
c(t).
Additivité des tensions : E = Ri(t) + u
c(t).
i = dq(t) /dt = C
1du
c(t) /dt.
E = R
C1duc(t)
/dt + uc(t).
duc(t) /dt +1 / t uc(t) = E
/ t.
III-4-
Si R est exprimée en ohm, et C
1 en farad,
quelle est l’unité de
t
?
t a la
dimension d'un temps, il s'exprime en seconde.
III-5- Parmi les
courbes proposées, laquelle correspond à l’évolution
théorique de u
c(t) lors de la charge complète du
condensateur ?
III-6- Quelle valeur
maximale U
c,max est atteinte par la tension u
c(t)
à la
fin d’une charge complète du condensateur ?
Uc,max
= E.
Pour des raisons pratiques, la charge ayant été interrompue avant
d’être
complète, on préfère déterminer C
1 lors de la décharge du
condensateur.
L’interrupteur est basculé en position 2, et l’on associe désormais à
cet
instant la nouvelle origine des temps t = 0.
L’évolution obtenue pour u
c(t) est représentée.
III-7-
Déterminer la valeur de
t
exp = RC
1 d’après le tracé en utilisant la méthode de
votre choix.
Expliquer le raisonnement suivi et faire apparaître sur le tracé les
éléments graphiques utilisés.
III-8- En déduire
l’expression puis la valeur du coefficient A en litre par nanofarad qui
servira à
paramétrer le capteur pour afficher le volume d’eau V = A×C .
t =4 =
RC
1 =9,5 10
3 C
1.
C
1 = 4 / (9,5 10
3) =4,2 10
-4 F= 4,2 10
5
nF.
V1
= A × C1 = 235 litres.
A = 235 /(4,2 105)=5,6 10-4 litre par nanofarad.