Le
condensateur d’un circuit 𝑅𝐿𝐶 série, de capacité 𝐶 = 20 μF, est mis
en court-circuit par un interrupteur 𝐾 depuis une
durée suffisamment longue pour que le régime soit établi (permanent).
Le circuit est alimenté par une source de tension
stationnaire idéale de force électromotrice 𝐸. On ouvre 𝐾 à un
instant pris comme origine temporelle. La bobine du circuit
possède une inductance 𝐿 = 50 mH. On note 𝑅 la résistance du
résistor, 𝑖 l’intensité du courant électrique qui traverse la
bobine, et 𝑢
c, la tension aux bornes du condensateur
Lorsque 𝐾 est ouvert, le facteur de qualité du circuit vaut 𝑄 = 10. On note
w0
la pulsation propre du circuit.
13. Calculer numériquement 𝑅.
A) 0,002 ohm ;
B) 0,2 ohm.
C) 5 ohms.
Vrai.
D) 500 ohms.
LC
w02 = 1 ;
w0 = 1 /(LC)
½ =1 /(0,05 x20 10
-6)
½ =10
3 rad /s.
Q = L
w0 / R ; R = L
w0 / Q =0,050 x 10
3 / 10 =5 ohms.
14.Que peut-on dire de la pseudo-pulsation
w ?
On ouvre K : E = Ldi/dt +Ri + u
c.
i = dq / dt = C du
c / dt ;
di/ dt =C d
2u
c / dt
2 ;
E =LC d
2u
c / dt
2 +RCdu
c / dt + u
c.
E /(LC) =d
2u
c / dt
2 +R / L du
c / dt + u
c / (LC).
w0 = 1/(LC)
½. Q = L
w0 / R =(L / C)
½ / R.
E
w02 =d
2u
c / dt
2 +
w0 / Q du
c / dt +
w02 u
c.
Equation caractéristique de l'équation différentielle sans second membre ::
r
2 +
w0 / Q r +
w02 =E
w02 .
Discriminant :
D =(
w0 / Q)
2-4
w02 = 4
w02 (1/(4Q
2)-1) < 0 car Q = 10.
Solutions de cette équation caractéristique :
-
w0 / (2Q) ± j
w0 (1/(4Q
2)-1)
½.
Pseudo-pulsation:
w =(-
D)
½ / 2 =
w0 (1-1/(4Q
2))
½.
Or 1/(4Q
2) <<1 donc (1-1/(4Q
2))
½~1-1/(8Q
2).
w ~
w0 |1-1/(8Q
2) ].
Réponse A.
15. Que valent l’intensité 𝑖(0
+) et la tension 𝑢
c
(0
+) à l’instant 𝑡 = 0
+ succédant immédiatement à l’ouverture de 𝐾 ?
A) 𝑖(0
+)=0.
B) 𝑖(0
+)=E / R.
Vrai.
C) 𝑢
c
(0
+)=0
Vrai.
D) 𝑢
c
(0
+) = E.
A
t < 0 : le régime permanent est établi.
La tension aux bornes de la bobine est nulle et E = Ri.
Par suite l'intensité i(t) étant une fonction continue 𝑖(0
+)=E / R.
A
t < 0 : la tension aux bornes du condensateur est nulle.
Par suite la tension u
c(t) étant une fonction continue u
c(0
+)=0.
16. La tension aux bornes du condensateur évolue selon 𝑢
c
(𝑡) = exp(-t / (2
t)) [𝐴 cos(
wt) + 𝐵 sin(
w𝑡)]+ E, 𝐴, 𝐵 et
t
étant des
constantes temporelles. Exprimer 𝐴 :
A) A = E ;
B) A = -E
vrai ;
C) A=0 ; D) A = ½E.
𝑢
c
(0) =0 =A+E.
17. Exprimer 𝐵 :
i(t) =C du
c / dt = exp(-t / (2
t)) [𝐴 cos(
wt) + 𝐵 sin(
w𝑡)] (-1/(2
t))+exp(-t / (2
t)) [-𝐴
w sin(
wt) + 𝐵
w cos(
w𝑡)].
i(t=0) = -A / (2
t)+ 𝐵
w = E / R.
B = E /(R
w) +A / (2
tw)=E /(R
w) -E / (2
tw).
18. On attend suffisamment longtemps que le régime s’établisse puis, à un instant pris comme nouvelle origine des
temporelle, on ferme 𝐾. On retiendra, par convention, comme durée du régime transitoire, la durée nécessaire pour
que 𝑖 atteigne 95 % de sa valeur finale (on indique que ln 20 ≈ 3). Déterminer la durée
trt du régime transitoire
succédant à la fermeture de 𝐾.
A) ~3L / R
vrai.
B) ~3RC
C) ~30 ms
vrai.
D) ~300 µs.
En régime établi : u
c= E et i = 0.
Fermeture de K
: le condensateur se décharge très rapidement dans les fils ( maille de
droite). La résistance de ces conducteurs étant très faible,
t = rC ~0.
Puis on a un circuit RL : i(t=0) = 0.
Le courant s'établit avec une constante de temps
t' = L / R = 0,050 / 5 = 0,01 s = 10 ms.
E = Ldi /dt + Ri.
E / L = di /dt +R / L i.
Solution de cette équation i = A exp(-t /
t')+ E / R.
i(0) = 0 = A+E / R ; A = -E / R.
i(t) = E/R(1-exp(-t /
t').
L'intensité atteint 95 % de sa valeur finale E / R à :
0,95 = 1-exp(-t /
t') ; exp(-t /
t') =0,05.
exp(-t / 0,01) = 0,05 ; t = -0,01 ln(0,05) = 0,01 ln20~0,01 x3 ~0,03 s ~30 ms soit 3 L / R).