Une loupe, assimilée à une lentille mince L de distance focale image f '
0
> 0 et de centre optique O, est utilisée pour observer
un objet AB situé dans un plan de front. L’ensemble est placé dans
l’air dont on supposera l’indice de réfraction égal à l’unité.
L’œil de l’observateur est situé à une distance x > 0 en arrière de
la lentille. On modélise cet œil, que l’on
suppose sans défaut (œil emmétrope), comme l’association d’une lentille
mince L' de vergence variable et d’un capteur fixe
(la rétine). On note la distance entre l’œil et son punctum proximum,
c’est-à-dire, la distance minimale de vision nette : d
m = 25 cm. Dans tout l’exercice, on admet que les conditions de Gauss sont satisfaites.
On définit le grossissement G de la loupe par le rapport
q ' /
q
de l’angle
q '
sous lequel l’objet est vu à travers L sur l’angle
q sous
lequel on voit l’objet directement (sans la loupe) lorsqu’il est placé au punctum proximum. Dans cette définition, la valeur
de G dépend de la position de l’objet et de la position de l’œil. On cherche les conditions d’observation qui maximisent le
grossissement.
On donne la relation de conjugaison de Descartes, celle de Newton et le grandissement transversal G
t
pour une lentille
mince de distance focale image f
i
:
p
oet p
i
sont respectivement les distances algébriques de l’objet et de son image au centre de la lentille.
En outre,
so et
si
sont les distances algébriques respectives de l’objet au foyer principal objet et de l’image au foyer principal image.
7. Que peut-on affirmer ?
A) La limite de résolution angulaire d’un œil normal est d’environ 1,5"
.
Limite de résolution de l'oeil humain : 3 10
-4 rad =3 10
-4 x180 / 3,14 ~0,017 degré soit 0,017 x3600 ~62 ".
B) Un ballon sphérique de 20 cm de diamètre placé à une distance de 100 m est vu sous un angle supérieur à la
limite de résolution angulaire d’un œil sans défaut.
Vrai.
diamètre apparent du ballon = 0,20 /100 =2 10
-3 rad > 3 10
-4 rad.
C) Un œil emmétrope peut observer nettement un objet à l’infini.
Vrai.
D) Un objet virtuel pour l’œil peut être observé nettement.
Cet objet virtuel se situe derrière le cristallin ; on ne peut pas le voir nettement.
8. Dans cette question, AB est placé dans le plan focal objet de L et la position de l’œil, derrière la lentille, est quelconque.
L’œil voit nettement l’image de AB à travers L. Déterminer
q'
et G.
A) q'= AB / d
m
;
B) q'= AB / f '
vrai ;
C) G = f ' / d
m ;
D) G =d
m / f '
vrai.
L'image A'B' donnée par la loupe se trouve à l'infini, l'objet AB étant dans le plan focal objet.
p
0 = -f
i ;
q'=
a'= AB / f '
;
q = AB / d
m ; G =
q' /
q =d
m / f '.
9. L’objet AB n’est plus dans le plan focal de L. L’œil est placé à proximité de la loupe (x ≈ 0) et accomode de sorte qu’il
observe l’image de l’objet à travers L à son punctum proximum. À quelle position p
1= mesure algébrique de OA l’objet est-il placé et que vaut
alors le grossissement G
de la loupe dans ces conditions d’observation ?
A) p
1 =d
m f ' / (d
m-f ').
B) p
1 = -d
m f ' / (d
m+f ')
vrai.
C) G
1 = d
m / f '.
D) G
1 =1 + d
m / f '
vrai.
p
i = -d
m.
1 / f ' = 1 / p
i -1 / p
1 = -1 / d
m -1 / p
1 ;
1 / p
1 = -1 / d
m -1 / f ' = - ( f ' +d
m) / ( f ' d
m) ; p
1 = -d
m f ' / (d
m+f ').
G = p
i / p
1 = (d
m+f ') / d
m = 1 + d
m / f '.
10. L’œil est désormais placé à une position quelconque dans l’intervalle 0 < x ≤ d
m. On note A
oo la position de A qui permet
à l’œil d’observer l’image de l’objet donnée par L sans accomodation et A
m la position de A qui oblige l’œil à accommoder
au punctum proximum. On introduit les distances algébriques p
oo = mesure algébrique de OA
oo et p
m = mesure algébrique de OA
m.
Exprimer ces dernières
A) poo = -f ' vrai ;
B) poo =x -f ;
C) pm = - f '(dm-x) / ( f ' +dm-x) vrai D) pm = f '(x-dm) / ( f ' -dm+x)
L'oeil n'accommode pas en observant l'image à l'infini ; l'objet est donc au foyer objet de la loupe : p
oo = - f '.
Si l'image se situe à d
m : p
i = x-d
m.
1 / f ' = 1 / p
i -1 / p
m =1 / (x-d
m) -1 / p
m = 1 / p
m =1 / (x-d
m) - 1 / f ' =(f '+d
m-x) / (f ' (x-d
m)).
p
m =(f ' (x-d
m)) / (f '+d
m-x).
11. On note p = mesure algébrique de OA, la position de A telle que p
oo ≤ p ≤
pm. Calculer le grossissement G(x,p) de la loupe pour ces positions x de l’œil et p de l’objet.
A) f ' d
m / [(x-p)(f '+p)]
;
B) f ' dm / [(x-p)(f '-p)]
;
C) f ' d
m /(x f ' +px +p f ').
D) f ' d
m /(x f ' +px -p f ').
Vrai.
12. On note A'
l’image de A par L et p' = mesure algébrique de OA'. Pour quelle position x de l’œil et quelle valeur de p '
le grossissement est-il
maximum ?
A) x = d
m et p' = 0.
B) x = 0 et p' = -d
m.
Vrai C) x quelconque et p' = -oo.
D) x =0 et p' = -f '.
d
m et f ' sont des constantes.
Le grossissement est maximum si le dénominateur xp+xf '-pf ' = x(p + f ') -p f 'est minimal.
p < 0 et p
< p
oo = - f ' alors p + f ' >0 ;
-p f ' >0 ; l'expression x(p + f ') -p f 'est minimal quand x =0. ( cas de la question 9).
p' = -d
m ;
q ' est d'autant plus grand quand l'image est plus proche.