On
alimente un circuit constitué par l’association en série d’un
conducteur ohmique, de résistance 𝑅, et d’un condensateur,
de capacité 𝐶, par une source de tension en échelon : 𝑢
e(𝑡)
= 𝐸 pour 𝑡 ≥ 0 et 0 sinon. Le symbole 𝑡
désigne le temps. On note 𝑖 l’intensité délivrée par le générateur.
31. Quelle est
l’équation différentielle du premier ordre qui régit l’évolution de la
tension 𝑢
C
(𝑡) aux bornes du condensateur
pour 𝑡 ≥ 0 ?
Additivité des tensions : u
e(t) = R i(t) + u
C(t).
i(t) = dq(t) / dt = C du
C(t) / dt.
u
e(t) = R C du
C(t) / dt + u
C(t).
u
e(t) / RC)= du
C(t) / dt + u
C(t) /
(RC)..
Réponse
A.
32. Comment s’écrit
la tension 𝑢
C
(𝑡) en fonction du temps, solution de l’équation précédente, si, à
l’instant initial (𝑡 = 0),
la plaque qui reçoit algébriquement le courant porte une charge 𝑞(𝑡 =
0) = 𝑞
0 = 𝐶𝑢
C
(0), où 𝑢
C
(0) = 𝑢
C
(𝑡 = 0) ?
Solution générale de l'équation différentielle sans second membre : u
C(t)
=A exp(-t / (RC)) avec A une constante.
Solution particulière de cette équation avec second membre : u
Ct)
= E.
Solution générale de l'équation avec second membre : u
C(t)
=A exp(-t / (RC)) +E
A t=0, u
C(0) = 0 ;
q
0 / C =A+E soit A = q
0 / C-E.
Par suite u
C(t) =E[1- exp(-t / (RC))] +q
0 / C
exp(-t / (RC)).
Réponse
C.
33. Que vaut la
tension 𝑢
C en régime établi (ou permanent) ?
Le terme en exponentielle tend vers zéro et uC(t) tend vers E.
Réponse
D.
34. Quelle est
l’évolution de l’intensité 𝑖(𝑡) du courant dans le circuit ?
i(t) = C du
C(t) / dt.
du
C(t) / dt = E / (RC) exp(-t / (RC)) - q
0 / (RC
2)
exp(-t / (RC)).
i(t) =[ E / R -q
0 / (RC)] exp(-t / (RC)).
Réponses
A.
35. On souhaite
faire un bilan énergétique du circuit 𝑅𝐶. Pour cela, on rappelle que,
selon la convention internationale issue
de la thermodynamique, les échanges d’énergie sont algébriques : pour
un système, une quantité d’énergie qui est
effectivement reçue est comptée positivement alors qu’une quantité
d’énergie effectivement perdue est comptée
négativement. Quelle est, à l’issue du régime transitoire, l’expression
de l’énergie électrique E
e reçue algébriquement
par le circuit 𝑅𝐶 série de la part de la source de tension ?
Puissance délivrée par le générateur ( énergie délivrée par unité de
temps) = E i(t)= E dq(t) / dt.
Energie reçue par le circuit : E dq(t) =E C du
C(t) /dt)
Intégrer E C du
C(t) /dt) entre zéro et +oo :
EC ( E-q
0 / C ) = CE
2-Eq
0.
Réponses
A.
36. .Donner, à
l’issue du régime transitoire, l’expression de l’énergie E
C
reçue par le condensateur de la part de la source de
tension et celle de l’énergie E
R reçue par le résistor de la
part de la source de tension.
E
C = ½Cu
2oo-½Cu
20
=½CE
2-½q
02 /C. Réponse
A.
Repport dans l'expression précédente :
E
R =CE
2-Eq
0 -½CE
2+½q
02
/C =½CE
2-Eq
0 +½q
02 /C.
Réponse
C.