Oscillateur harmonique, frottement solide,
 concours ENAC pilote 2018.

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Un palet, assimilé à un point matériel M de masse m, est attaché à un ressort (raideur k, masse négligeable) le long d’un axe horizontal (Ox). On écarte, vers la droite (selon 𝑥 > 0), le palet de la distance 𝑥m puis on le lâche sans vitesse initiale ; on observe alors un mouvement oscillatoire autour de la position d’équilibre prise, par commodité, à la coordonnée 𝑥 = 0 lorsque le ressort n’est pas déformé. Au cours du mouvement, le support (horizontal) sur lequel est posé le palet exerce une force de frottement f=eµmg  où g est la norme du champ de pesanteur, µ est un facteur caractéristique du frottement et e un nombre tel que : e= −1 si le mouvement se fait dans le sens des 𝑥 croissants et 𝜀 = 1 sinon.

31. Quelle est l’équation différentielle du deuxième ordre qui décrit le mouvement de M ?
M est soumis à son poids, verticale, vers le haut, à l'action du support, opposée au poids, à la tension du ressort T, horizontale, vers la droite ( ressort étiré), norme k x, et à la force de frottement solide.
Ecrire la seconde loi de Newton sur un axe horizontal :
 -kx +f = mx" =md2x /dt2.
d2x /dt2 + k / m x = eµg.
On pose w02 = k / m ;
d2x /dt2 + w02 x = eµg.
Réponse B.

  32.  Compte tenu des conditions initiales, le mouvement de M s’effectue d’abord dans le sens des 𝑥 décroissants. Quelle est la solution x(t) de l’équation différentielle obtenue précédemment ?
Solution générale de l'équation sans second membre : x(t) = A cos (w0t+ F) avec A une constante.
Solution particulière de l'équation complète :
x(t) =x = eµg / w02.
Solution générale de l'équation avec second membre :
x(t) = A cos (w0t+ F)+ eµg / w02.
 Vitesse v = dx/dt = -Aw0 sin (w0t+ F)
v(t=0) = 0 =Aw0 sin ( F) soit F = 0.
x(t=0) = xm =A+ eµg / w02 avec e =1.
A = xm -µg / w02.
x(t) =( xm -µg / w02)cos (w0t)+ µg / w02.
Réponse B.

33. Cette première phase du mouvement s’achève lorsque le mobile repart en sens inverse. À quel instant t1 cette première phase du mouvement se termine-t-elle ? On exprimera t1 en fonction de la période T0=2p /w0 du mouvement oscillatoire.
 A) t1 = T0.   B)  t1 = 2T0C) t1 =½ T0 vrai .   D) t1 = ¼T0.
v = dx/dt = -Aw0 sin (w0t) =( -xmw0 +µg / w0) sin (w0t).
v(t1) = 0 =( -xmw0 +µg / w0) sin (w0t1).
w0t1 =(2k+1)p.
k=0 ; t1 =p / w0 =½ T0.

34. Quelle est la position x1 de M à l’instant t1 ?
A) -xm. B) -xm +2µg / w02. Vrai. C) xm -2µg / w02. D) xm +2µg / w02.
x(t1) =( xm -µg / w02)cos (p)+ µg / w02.
x(t1) = -xm +µg / w02+ µg / w02=-xm +2µg / w02.

35. À partir de l’instant t1 , choisi comme nouvelle origine temporelle, le mouvement de M s’effectue dans le sens des x croissants. Quel est l’instant t2 pour lequel cette deuxième phase du mouvement se termine ? Quelle est la position x2 de M à l’instant t2 ?
  A) t2 = T0.   B)  t2 = ½T0. VraiC) x2 =xm +4µg / w02.   D) x2 =xm -4µg / w02. Vrai.

x(t) = B cos (w0t)+ eµg / w02.
x(t=0) = x1 =B+ eµg / w02 avec e =-1.
B = x1 +µg / w02= -xm +3µg / w02.
x(t) =( -xm +3µg / w02)cos (w0t)- µg / w02.
v(t)= -w0( -xm +3µg / w02)sin (w0t).
v(t2)=0 ; t2 =p / w0 =½ T0.
x2 =( -xm +3µg / w02)cos (p)- µg / w02.
x2 = xm -3µg / w02- µg / w02= xm -4µg / w02.

  36. . À partir de l’instant t2, le mouvement de M s’effectue de nouveau dans le sens des x décroissants jusqu’à un instant t3 où la position de M est x3 et d’où le palet repartira dans le sens des x croissants, et ainsi de suite. Compte tenu de ce qui précède, quelle est l’expression générique de la durée tn (𝑛 entier naturel) de la n-ième phase du mouvement ? Donner aussi l’expression générique de la position xn atteinte à la fin de la n-ième phase du mouvement.
 A) tn = n T0 / 2.
 B) tn = T0 / 2. Vrai.
 C) xn =xm -nµg / w02.
D) xn =(-1)n(xm -2nµg / w02). Vrai.
Quelle que soit la phase considérée, elle dure ½T0.
A chaque phase du mouvement, l'amplitude diminue de 2µg / w02.
|xn| =
xm -2nµg / w02 et xn =(-1)n(xm -2nµg / w02).






  
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