Mathématiques, fonctions, Concours Avenir 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... Question 16. Soit f une fonction définie, deux fois dérivable, et convexe sur R. Pour tout nombre réel a, on a : a. f (x) > f ′(a)×(x −a)+ f (a) pour tout réel x b. f (x) < f ′(a)×(x −a)+ f (a) pour tout réel x c. f (x)> f ′(a)×(x −a)+ f (a) pour tout réel x. Vrai. Le graphe d'une fonction convexe se trouve au dessus de ces tangentes. d. f (x) < f ′(a)×(x −a)+ f (a) pour tout réel x Question 17. Un point fixe d’une fonction g est un nombre réel x tel que g (x) = x. Soit f une fonction définie sur R telle que f (2)= 4 et f (4) = 2. On peut alors affirmer que les réels 2 et 4 sont des points fixes de la fonction : a. f ◦ f vrai ; b. f × f ; c. f ; d. f +2. f (f(2)) = f(4) = 2 ; f(f(4)) = f(2) = 4. Question 18. Soit f une fonction définie et dérivable sur R. Parmi les quatre affirmations suivantes, laquelle est vraie ? a. Si f ′(a) = 0, alors f possède un extremum local atteint en x = a. Si la dérivée f '(a) s'annule en x = a et change de signe alors ce point correspond à un extrémum local. b. Si f ′(a) diffère de 0, alors f possède un extremum local atteint en x = a. c. Si f possède un extremum local atteint en x = a, alors f ′(a)= 0. Vrai. d. Si f possède un extremum local atteint en x = a, alors f ′(a) diffère de 0. Question 19. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note P la parabole d’équation y = x2. Soient a et b deux nombres réels distincts, A et B les points de P d’abscisses respectives a et b : A( a ; a2) et B( b ; b2). La pente de la sécante (AB) est égale à : a. a −b ;  b. b −a ;  c. a +b vrai ;  d. b2 −a2. Pente de (AB) : (f(b)-f(a)) / (b-a) =(b2-a2) / (b-a) = b+a. Question 20. f est une fonction définie sur l’intervalle ]−∞;0[ et telle que pour tout x < 0, on a : ln[exp(f(x)+1]=f(x) - x. On peut alors affirmer que pour tout réel x appartenant à I , on a : f (x) = a. −ln(ex-1). exp[−ln(ex-1)]= 1/exp[ln(ex-1)]=1/ (ex-1). exp[−ln(ex-1)]+1 =1/ (ex-1)+  (ex-1) / (ex-1)=ex /(ex-1). ln[ex /(ex-1)] =ln(ex) -ln(ex-1) =x+f(x). b. −ln(1-ex) exp[−ln(1-ex)]= 1/exp[ln(1-ex)]=1/ (1-ex). exp[−ln(1-ex)]+1 =1/ (1-ex)+  (1-ex) / (1-ex)=(2-ex) /(ex-1). c. −ln(e-x-1).Vrai. exp[−ln(e-x-1)]= 1/exp[ln(e-x-1)]=1/ (e-x-1). exp[−ln(e-x-1)]+1 =1/ (e-x-1)+  (e-x-1) / (e-x-1)=e-x /(e-x-1). ln[e-x /(e-x-1)] =ln(e-x) -ln(e-x-1) = -x+f(x). d. −ln(1-e-x). Question 21. Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = aebx où a et b sont deux réels. Sachant que la tangente à la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormé en x = 0 admet y = 2x −1 pour équation réduite, on peut affirmer que : a. a < 0 et b < 0 vrai  ;  b. a < 0 et b > 0 ; c. a > 0 et b < 0 ; d. a > 0 et b > 0. f '(x) = abebx ; f '(0) = ab = 2, donc a et b ont le même signe. Le point de coordonnées (0 ; f(0) =a) appartient à la tangente. Equation de la tangente : y = 2x +d ; a = 0+d ; y = 2x +a ; a = -1. Question 22. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = ln(ex+e-x). Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note Cf la courbe représentative de f et D la droite d’équation y = ax où a est un nombre réel. La courbe Cf possède une tangente parallèle à D si, et seulement si, "a" appartient à l’intervalle : a. [−1 ;1 [ ; b. ]−∞;−1] ; c. ]1 ;+∞[ ; d. ]−1 ;1[. Vrai. f '(x) = (ex-e-x)/ (ex+e-x) = a. .. .. .. .. Question 23. Soient a et b deux nombres réels tels que : 0 < a < b. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note G la courbe représentative de la fonction ln, et A et B les points de G d’abscisses respectives a et b : A(a ; ln(a)) et B (b ; ln(b)) L’abscisse du point de G en lequel la tangente à G est parallèle à la droite (AB) est égale à : a. ln(b/a) / (b-a) ; b. ln(b/a) / (a-b) ; c. (a-b) / (ln(a/b) ; d. (b-a) / (ln(b/a).Vrai. Coefficient directeur de la droite (AB)  : [ f(b)-f(a) ]/ (b-a) = ln(b /a) /(b-a). Coefficient directeur de la tangente à G : f '(x) =1 /x. Tangente parallèle à (AB) : ln(b /a) /(b-a) = 1 / x. Le point G ( x ; ln(x) ) appartient à la tangente. ln(x) =ln(b /a) /(b-a)  x + Cste = 1+Cste. On identifie x à (b-a) / (ln(b/a). Question 25. Soient f la fonction définie sur R par f (x) = ln(ex+1) On note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé. La tangente à C au point d’abscisse 0 coupe l’axe es abscisses au point d’abscisse : a. 0 ; b. ln(2) ; c. ln(0,25) vrai ; d. 0,5. f '(x) = ex /(ex+1) ; f '(0) = 0,5. Le point  de coordonnées (0 ; f(0) =ln(2) appartient à la tangente d'équation y = 0,5 x +b. ln(2) = b ; y = 0,5 x +ln(2). Cette tangente coupe l'axe des abscisse en : 0 = 0,5 x + ln(2) ; x = -2 ln(2)=- ln(22) = -ln(4) = ln(1/4) = ln(0,25). Pour les questions 26 à 29, f et g désignent deux fonctions définies et dérivables sur l’intervalle ]−2; 6[. Une représentation graphique est donnée ci-dessous dans le plan muni d’un repère orthogonal. La courbe représentative de f est en trait plein, celle de g est en pointillés. Question 26. On peut affirmer que : a. (f ° g)(2) < (g ° f)(2). b. (f ° g)(2) > (g ° f)(2) vrai . c. (f ° g)(2) = (g ° f)(2). d. Il est impossible de comparer (f ° g)(2) et (g ° f)(2). (f ° g)(2) = f(g(2) =f(1) =0,5. (g ° f)(2)= g(f(2) =g(0) = -1. Question 27. Si h désigne la fonction g ◦ f , alors : a. h′(1) = 0 vrai ; b. h′(1) = 1 ; c. h′(1) = −1; d. h′(1) = 2021. h ' (x)= g '(f(x) * f '(x). h '(1) = g '(f(1)) *f ' (1). f(x) possède un extrémum en x = 1, donc f '(1) = 0. Question 28. On peut affirmer que : a. les antécédents de 0 par la fonction g ◦ f sont 0,5 et 2. b. 1 est l’unique antécédent de 0 par la fonction g ◦ f c. les antécédents de 0 par la fonction g ◦ f sont ½, 1 et 2. d. 0 ne possède pas d’antécédent par la fonction g ◦ f. vrai. g ◦ f = g (f(x)=0 ; seul g(1) = 0. Or f(x) n'est jamais égal à 1. Question 29. Sur l’intervalle ]2;6[, la fonction g ◦ f : a. est strictement décroissante b. est strictement croissante. Vrai. c. est constante d. change de sens de variation. g ◦ f = g (f(x)) ; f(x) est strictement décroissante sur ]2;6[. g(x) est strictement décroissante sur ]2;6[. g (f(x)) est strictement croissante sur ]2;6[. Question 30. Soit u une fonction définie et deux fois dérivable sur R. Sachant que u est convexe sur R, on peut affirmer que la fonction eu est : a. concave sur R ;  b. convexe sur R vrai ; c. convexe puis concave ; d. concave puis convexe. La fonction exponentielle est strictement croissante et convexe su R. Question 31. Soient f et g seux fonctions définies et dérivables sur R. Elles sont liées par la propriété suivante : Si h est une primitive de f, alors la fonction définie par k (x) = h(x) + 2x est une primitive de g. On peut affirmer que : a. f ' =  g' vrai ; b. f ' = g ' -2 ; c. f ' = g ' +2 ; d. les propositions précdentes sont fausses. f = h ' ; g = k ' = h ' +2. f ' = h " ; g ' = h ". Question 32. Soit f la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par f (x) =ln(x) / (x +1) et F sa primitive sur ]0 ;+∞[ qui s’annule en x = e. L’équation de la tangente à la courbe représentative de F dans le plan muni d’un repère orthonormé au point d’abscisse x = e est donnée par : a. y = (x+e) / (e+1) ; b. y = x /(e+1) ; c. y = (x-e) / (e+1) vrai ; d. y = (x-e) / (e-1). Coefficient directeur de cette tangente en x = e : f(e)=ln(e) / (e+1) = 1 /(e+1). Equation de la tangente : y = x /(e+1) + b. Le point de coordonnées (e ; F(e) = 0) appartient à la tangente : 0=e /(e+1) +b ; b = -e /(e+1). Question 33. Soit f la fonction définie sur R par f (x) =1 / (ex −x). Si F est une primitive de f sur R, alors F est : a. concave sur R b. concave sur ]−∞;0[ et convexe sur ]0 ;+∞[ c. convexe sur ]−∞;0[ et concave sur ]0 ;+∞[ vrai. d. convexe sur R. F ' = f ; F " = f ' = -((ex −1)) / (ex −x)2. Si x < 0, f ' >0 et F est convexe sur ]−∞;0[. Si x > 0, f ' < 0 et F est concave sur ]0 ; +oo[. Question 34. Soit f la fonction définie sur R par f (x) =1/(1+x2). On désigne par F1 et F2 les primitives sur R de f telles que : F1(1)=p/4 et F2(1) = 0. Sachant que F1(0) = 0, on a F2(0)= a. −p/2 ; b. −p/4 vrai ; c. 0 ; d. p /2.   F = arctan(x)+Cste. F2(1) =p/4 + Cste =0 ; F2(x) = arctan(x) -p/4. F1(1) =p/4 + Cste =p/4 ; F1(x) = arctan(x). F2(0) = arctan(0) -p/4= -p/4. Question 35. Soient f et g deux fonctions définies et dérivables sur R. Sachant que f est une primitive de g et que la courbe représentative de f admet pour tangente au point d’abscisse 1 la droite d’équation y = 2x −3, on peut affirmer que : a. g (1) = −3 ; b. g (1)= −1 ; c. g (1) = 2 vrai ; d. g (1) = 5. f '(1) =g(1) =2 coefficient directeur de la tangente en x = 1.

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