Mathématiques,
Concours TSPEI / 2022.
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Exercice 1.
On considère l’équation différentielle :
(E) : y
′′ − 2y
′ + y = 2ex
où y est une fonction inconnue de la variable réelle x, définie et deux
fois dérivable sur R, y
′
la fonction dérivée
de y et y
′′ la fonction dérivée seconde de y.
1. a. Résoudre dans
R l’équation : r
2 − 2r + 1 = 0.
Discriminant D
=(-2)2 -4 = 0.
Solutions r =(2 ± 0) / 2 = 1.
b. En déduire les
solutions définies sur R de l’équation différentielle
(E0) : y
′′ − 2y
′ + y = 0.
y = (A x+B) ex. A et B sont des constantes.
2. Déterminer une
solution particulière définie sur R de l’équation (E).
Remarque : chercher les solutions de r2-2r+1=2 soit r = 1±2½.
Solution particulière de (E) : y = exp((1+2½)x) + exp((1-2½)x).
3. En déduire les
solutions définies sur R de l’équation différentielle (E).
y = (A x+B) ex+exp((1+2½)x) + exp((1-2½)x).
4. Déterminer la solution
f définie sur R de l’équation différentielle (E) qui vérifie les
conditions initiales :
f(0) = −1 et f
′
(0) = 1.
f(0) =B+1+1 =0 soit B = -2.
f 'x) = (Ax+A+B)ex+(1+2½)exp((1+2½)x) + (1-2½)exp((1-2½)x) = 0.
A-2+1+2½+1-2½ =0 ; A = 0.
f(x) = -2 ex+exp((1+2½)x) + exp((1-2½)x).
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Exercice 2.
Le but de cet exercice est de déterminer les triplets de nombres
complexes (z1 ; z2 ; z3) solutions
du système :
(S)
|z1| = |z2| = |z3| = 1
; z1 + z2 + z3 = 1 ;
z1 z2 z3 = 1
1. a. Vérifier que
(1; i; −i) est une solution du système (S).
|1| = 1 ; |i| = 1 ;| -i| = 1.
1+i-i = 1.
1 *i *(-i) * =-i2 = 1.
b. En déduire cinq
autres triplets solutions du système (S).
Tous les triplets obtenus par permutations circulaires sont également solutions.
(1 ; -i ; i) ; (-i ; i ; 1) ; (-i ; 1 ; i) ; (i ; -i ; 1) ; (i ; 1 ; -i).
2. Soit (z1; z2;
z3) une solution du système (S).
a. Montrer que : z1,
z2 et z3 sont non nuls.
z1 z2 z3 = 1 ; donc aucun des nombres complexes ne peuvent être nuls.
b. Montrer
que : 1
/z1
+
1/
z2
+
1
/z3
= 1.
Indication : on pourra utiliser la notion de conjugué pour un
nombre complexe de module 1.
1
/z1 =1 ;
1/ i =i / (i2)= -i ;
1
/(-i)
= i / (- i2) = i.
1 +i-i = 1.
c. Démontrer que pour
tout nombre complexe z, on a :
(z − z1)(z − z2)(z − z3) = (z − 1)(z 2
+ 1).
Indication : on pourra développer et réduire chaque membre de
l’égalité.
(z − 1)(z −i)(z +i) =(z-1)(z2+1).
ou bien :(z2-z z2-z z1+z1z2)((z − z3) =z3-z2 z2-z2 z1+zz1z2-z2z3+z z2 z3+z z1z3-z1z2z3.
z3-z2 i-z2 +z i+z2 i+z -z i-1 =z3 -z2 +z -1.
(z − 1)(z 2
+ 1) =z3+z-z2-1.
3. En déduire, des
questions précédentes, les triplets solutions du système (S).
solution de (z − 1)(z 2
+ 1)=0, triplet (1 ; i ; -i).
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