Clepsydre, radioactivité, réfractomètre, Concours TSPEI / 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... La clepsydre, ou horloge à eau, est un instrument à eau qui mesure le temps par la chute d’une certaine quantité d’eau, d’une manière similaire à celle d’un sablier.   On considère la clepsydre. La partie supérieure est remplie d’eau qui s’écoule dans la partie inférieure à travers l’ouverture O. On considère à l’instant t0 un petit élément de volume cylindrique d’eau V, de rayon r, compris entre les niveaux A et B à la hauteur z1. Un instant dt plus tard, l’eau s’est déversée dans la clepsydre, et le sommet du volume considéré est descendu au niveau B. Le fluide est incompressible et on néglige les effets thermiques ou de viscosité. On note S(z) et c(z), respectivement la section du cylindre et la vitesse d’écoulement du liquide en fonction de z. 1) Exprimer le volume V en fonction de S, c et dt Volume d'un cylindre de section S(z) et de hauteur h= (z1-z2) : V = S(z) (z1-z2). c(z) = (z1-z2)/ dt. V = S(z) c(z) dt. 2) On note PA /PB respectivement la pression s’exerçant sur le cylindre en A et B. Le travail effectué par la gravité et par la pression pour accélérer l'eau se transforme en énergie cinétique. Montrer et expliquer pourquoi on peut écrire : 0,5m [cB 2 - cA 2 ] + mg(z2-z1)= PASA cAdt – PBSB cBdt où les indices A/B dénotent la position en A /B. Théorème de l'énergie cinétique entre A et B : DEc = 0,5m [cB 2 - cA 2 ]. Travail du poids du volume V : mg(z1-z2). Travail des forces de pression : PASA cAdt – PBSB cBdt. Par suite : 0,5m [cB 2 - cA 2 ] = mg(z1-z2) + PASA cAdt – PBSB cBdt. 3) On suppose le liquide homogène de masse volumique r. Comment relier l’expression précédente au théorème de Bernoulli qui donne : 1/2 c2 + gz + P/r =constante. r = m / S(z) c(z) dt. 0,5 [cB 2 - cA 2 ] + g(z2-z1) = ( PASA cAdt – PBSB cBdt ) / m = (PA-PB) / r. .  4) On considère qu’à la surface du niveau d’eau dans la clepsydre, l’eau est stagnante et qu’il n’y a pas de pression. En utilisant l’expression donnée à la question 3, donner la vitesse du liquide au niveau de l’ouverture O. On prendra l’origine de l’axe z au niveau de cette sortie. CA = 0 ; PA =PO= Patmosphérique. 0,5 cO 2  - g zA. cO 2  =2 g zA. 5) On considère que la clepsydre est tronconique avec un rayon r=a z (où a est une constante). En utilisant le résultat de la question 1 montrer que la vitesse de baisse du niveau prend la forme : v(z)~ z -1,5. Equation différentielle à laquelle obéit z : écrire la conservation du débit volumique en A, point de la surface et en O : S vL= s vO avec vL= -dz/dt -Sdz/dt = s vO = s [2gz]½ ; dz/dt +s/S[2gz]½ =0. Expression traduisant les variations de z en fonction du temps : séparer les variables : dz / z½ = -s/S [2g]½ dt intégrer entre 0 et t : 2[z½]z0z = -s/S [2g]½ [t]0t ; 2[z½-z0½]= -s/S [2g]½ t soit 2[z0½-z½]= s/S [2g]½t.  6) Quel est le défaut principal de la clepsydre mis en évidence dans la question précédente et quelle modification apporter à la clepsydre pour y remédier ? La vitesse d'écoulement n'est pas constante. Les graduations ne sont pas équidistantes pour une clepsydre cylindrique. Il faut utiliser un vase tronconique. ... .... Exercice 2 – Crème irradiante.  Au début des années, l’entreprise Tho-Radia proposait une crème de beauté contenant du Bromure de radium (RaBr2). Le radium est un élément radioactif qui se désintègre en radon suivant l’équation : 22688Ra =22286Rn +ZXA.  1) Donner le nombre de protons, neutrons et électrons de l’élément « A ». Conservation du nombre de nucléons : Z +222 =  226 ; Z = 4. Conservation de la charge  : 88 = 86 +A ; A = 2. 2) Quel est cet élément ? Comment appelle-t-on ce type de radioactivité ? 42He radioactivité de type alpha.  3) Evaluer la masse molaire de RaBr2. On considèrera pour le brome l’isotope 79Br comportant 44 neutrons. On rappelle que la valeur du nombre d’Avogadro : N= 6,02214 x 1023 mol-1 . On donne : masse neutron = 1,6749 x 10-27 kg ; masse proton = 1,6726 x 10-27 kg . Masse d'un atome de radon : (88 x1,6726 +(226-88) x1,6749) 10-27 =(147,1888 +231,1362) 10-27 =378,325 10-27 kg. Masse d'un atome de 79Br : ((79-44) x1,6726 +44 x1,6749) 10-27 =(58,541 +73,6956) 10-27 =132,2366 10-27 kg. Masse molaire RaBr2 : 6,02214 x 1023 (378,325 +2 x132,2366) 10-27=0,387 kg / mol = 387 g / mol. 4) Sachant qu’un pot de 100 g de crème pouvait contenir 0,223 microgramme de bromure de radium, calculer la quantité de Radium associée. 0,223 10-6 / 387 =5,76 10-10 mol.  5) La demi-vie du Radium 226 est de 1600 ans. Evaluer par quel facteur l’activité du radium a été réduite de nos jours, depuis 1932. 2022-1932=90 ans. N = N0 exp(-lt) avec l T = ln(2) ; l =ln(2) / 1600 = 1,80 10-3 an-1. N / N0 = exp(-1,80 10-3 x90)=0,85.  6) Quelle aurait été l’activité maximum ? Amax = l N0 =1,80 10-3 x5,76 10-10 x6,02214 1023 =6,24 1011 Bq. 7) Les limites de sécurité pour la radioprotection des personnes sont données dans d’autres unités que le Becquerel, pourquoi ? Le Sievert ( dose équivalente), le gray ( unité de dose absorbée) tiennent compte de l'énergie de la source et de ses effets sur l'homme. Exercice 3 : Réfractomètre.  Un réfractomètre est un instrument permettant de mesurer l’indice de réfraction d’un milieu. L'indice est calculé à partir de l'angle de réfraction observé en utilisant la loi de Snell-Descartes. Les applications sont nombreuses comme la mesure de la concentration d’un soluté dans un solvant (par exemple la teneur en sucre de jus de raisin). 1) Rappeler et illustrer avec un schéma la loi de Snell - Descartes.  2) On considère un rayon incident se propageant dans un milieu d’indice 1,3 et arrivant à l’interface avec un milieu d’indice 1 en faisant un angle de 50° par rapport à la normale à l’interface. Que se passera-t-il à l’interface ? Angle d'incidence limite : 1 / 1,3 = 0,769 = sin ilim ; ilim ~50°. Il y a réflexion totale. 3) Dans quelle situation pourrait-on observer ce phénomène ? Propagation dans une fibre optique.  4) Vous achetez aux puces un réfractomètre portable. Il s’agit d’un tube dans lequel il est possible de placer une goutte de liquide entre deux prismes, la goutte formant alors un film mince entre les deux prismes.  Lorsque le prisme d'entrée, à une extrémité du tube, est placé devant une source lumineuse, la lumière éclaire le liquide en incidence rasante et les rayons traversant le liquide puis le second prisme sont observés par l'utilisateur via une optique et un viseur. L’utilisateur observe alors une zone d’ombre (en gris sur la figure) dont la hauteur peut être mesurée à l’aide d’un réticule gradué mais sans unité. Quelles étapes seraient à suivre pour pouvoir utiliser efficacement ce réfractomètre ? Etalonnage de l'appareil : utiliser différents produits d'indice de réfraction connu. Déposer quelques gouttes d'un produit d'étalonnage. Exposer le réfractomètre à la lumière. Noter la position de la zone d'ombre. Faire de même pour les autres produits. 5) Quel est l’avantage d’un tel réfractomètre par rapport à d’autres instruments de mesures ? Dans l'agroalimentaire, le réfractomètre donne directement la teneur en sucre d'un milieu.

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