Mathématiques, concours TSEEAC 2022.

Partie 1.
On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n > 1 par : u_n = 1 +1 /2 +1 /3 +... 1/n.
Q1. Une fonction L écrite en langage Python qui a pour paramètre un nombre entier n > 2 et qui renvoie le n-ième terme de la suite est :

A. def L(n) :
u = 1
for i in range (2,n) :
u = u+1/i
return u.

B. def L(n) :
u = 1
for i in range (1,n) :
u = u+1/ n
return u.

C. def L(n) :
u = 1
for i in range (2,n+1) :
u = u+1/i
return u.
Vrai

D. def L(n) :
u = 1
for i in range (2,n) :
u = u+1/n
return u.

La réponse A ne renvoie pas jusqu'au terme 1 / n+1.

Q2. La suite (u_n) vérifie :
A. Pour tout entier naturel n > 1, u_2n-u_n > 0,5. Vrai.
Pour n = 2 : u₂ = 1+1/2 ; u₄ = 1+1/2 +1/3 +1/4 ; u₄-u₂ =1/3 +1/4 > 0,5.
U_2n = 1 +1 /2 +...+1 / n +1 /(n+1) +...+1 /(2n) ; U_n = 1 +1 /2 +...+1 /(n) ;
u_2n-u_n =1 /(n+1) +...+1 /(2n), u_2n-u_n > 0,5.
B. Pour tout entier naturel n > 1, u_2n-u_n < 0,5.
C. Pour tout entier naturel n > 1, U₂ⁿ > 1+n/2. Vrai.
Par récurrence :
Initialisation : pour n = 1 ; u₂ = 1 + 1/2 > 1+n/2 ; la propriété est vraie au rang 1.
Hérédité : U₂ⁿ > 1+n/2 est supposée vraie.
U₂ⁿ⁺¹ = U_{2 *2}ⁿ ; U_{2 *2}ⁿ -U₂ⁿ > 0,5.
U₂ⁿ⁺¹ > 0,5 +U₂ⁿ .
U₂ⁿ⁺¹ > 0,5 +1+n/2 ; U₂ⁿ⁺¹ > 1 /2 +1+n/2 ; U₂ⁿ⁺¹ > 1+(n+1)/2 ;
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est vraie pour tout n entier naturel.
D. Pour tout entier naturel n > 1, U₂ⁿ < 1+n/2.

Q3. La suite (u_n) :
A. Converge car elle est croissante et majorée.
B. Converge car elle est décroissante et minorée.
C. Diverge car elle est minorée par une suite divergente non bornée. Vrai.
D'après la réponse Q2. C.
D. Diverge car elle est majorée par une suite divergente non bornée.

Partie II.
Soit la fonction f définie sur [0 ; +oo[ par f(x) = 10 exp(u(x)) avec u(x) = -exp(-2-0,1x).
Q4. Pour tout réel x > 0, la fonction est dérivable et :
A. f '(x) = exp(-e^-2-0,1x).
B. f '(x) = (-20-x)exp(-e^-2-0,1x).
C. f '(x) = 10 u(x) exp(u(x)).
D. f '(x) = - u(x) exp(u(x)). Vrai.
u'(x) = 0,1 exp(-2-0,1x)= -0,1 u(x).
f '(x) = 10 u'(x) exp(u(x)).

Q5. On admet que f '(x) est dérivable sur [0 ; +oo[ et on note f '' la dérivée de f '.
A. f ''(x) = 10(1+u(x)) u'(x) e^u(x).
B. f ''(x) = 0,1(1+u(x)) u(x) e^u(x). Vrai.
C. f ''(x) = -0,1 exp(-e^-2-0,1x).
D. f ''(x) = (0,1x²+4x+39) exp(-e^-2-0,1x).
On pose v = u'(x) =0,1 exp(-2-0,1x) = -0,1 u(x) et w =exp(u(x)).
v'= -0,01 exp(-2-0,1x) =0,01u(x).
w' =u'(x) exp(u(x))= -0,1u(x)exp(u(x)).
v'w+w'v = 0,01 u(x)exp(u(x))+u'²(x) exp(u(x))=0,01(u(x)+u²(x)) exp(u(x))=0,01 u(x)(1+u(x))exp(u(x)).
f "(x) = 10v'w+w'v =0,1 u(x)(1+u(x))exp(u(x)).

Q6. La fonction dérivée f ' est maximale pour :
A x=20 vrai ; B x=0 ; C. x = 10(2+0,1^½) ; D.10(2-0,1^½).
f ''(x) = 0,1(1+u(x)) u(x) e^u(x).
0,1 e^u(x) > 0 ; -u(x) > 0 ; f "(x) a le signe de -(1+u(x)) = - (1-exp(-2-0,1x))= exp(-2-0,1x)) -1.
f "(x) > 0 si exp(-2-0,1x) > 1 soit -2-0,1 x >0 ; 20+x < 0 ; x < -20. f '(x) est croissante.
f "(x) < 0 si x > -20. f '(x) est décroissante.
f "(x) =0 si x = -20. f '(x) est maximale.
Toutes les propositions sont fausses. Répondre E.

Partie III.
Q7. Le système suivant admet pour ensemble de solutions sachant que x et y appartiennent à [-p ; +p].

Réponse D.

Q8. Le système suivant admet pour ensemble de solutions sachant que x appartient à [-p ; +p].

Toutes les propositions sont fausses. Répondre E.