Etude d'un satellite, concours ingénieur travaux publics ITPE 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... On souhaite étudier le mouvement d'un satellite articiel G, assimilé à un point matériel de masse m, se déplaçant dans le champ de gravitation terrestre. La Terre est de centre O et de masse M et le référentiel géocentrique est supposé galiléen. On note r la distance OM. La constante de gravitation vaut G = 6,67 · 10−11 m3 · kg−1 · s −2 . La masse de la Terre vaut M = 5,97 · 1024 kg et son rayon vaut R= 6371 km. Q.14 Exprimer la force exercée par la Terre sur le satellite, en fonction de m, M, r, et de la constante de gravitation G. Etablir l'expression de l'énergie potentielle Ep dont elle dérive. On prendra Ep nulle quand r tend vers l'inni. Le travail de la force f(r) ne dépend que des positions initiale et finale ( peu importe le chemin suivi) : la force est conservative. On peut associer à cette force, une fonction scalaire ou énergie potentielle notée Ep(r), définie à une constante près ; la variation de l'énergie potentielle entre les points A et B est égale à l'opposée du travail de la force f(r) entre ces points. En prenant B situé à l'infini ( par convention cette énergie potentielle est nulle à l'infini), il vient : Ep = -GMm / r. Q.15 Justier que le mouvement du satellite est plan. La force à laquelle le satellite est soumis est centrale : en conséquence, le mouvement du satellite est plan. On repère la position du satellite dans ce plan par ses coordonnées polaires r et θ (où θ est déni par rapport à un axe quelconque de ce plan et passant par O). Q.16 Rappeler sans démonstration l'expression du vecteur vitesse en coordonnées polaires.  Q.17 Exprimer le moment cinétique par rapport à O du satellite, en fonction de m, r, ˙q et d'un vecteur unitaire à préciser. On suppose dans les questions Q.18 à Q.22 que le mouvement est circulaire, de rayon r et de période T. On note alors v le module du vecteur vitesse. Q.18 Montrer que le mouvement est également uniforme.  Q.19 Etablir l'expression de v en fonction de G, r et M . La norme de la vitesse étant constante, le mouvement est uniforme.  Q.20 En déduire une relation simple entre l'énergie potentielle Ep du satellite et son énergie cinétique Ec. Exprimer alors son énergie mécanique Em, en fonction de G, M et r. Ec = ½mv2 =½m GM / r. Ep = -GMm / r. Em = ½m GM / r -GMm / r = -½m GM / r. Q.21 Etablir une relation entre R, T, G et M ( 3 ème loi de Kepler) Le satellite décrit la circonférence 2 pr à la vitesse v durant le temps T. 2 pr = vT. 4 p2 r2 = v2 T2 =GM T2/ r. T2/ r3 =4 p2 / (GM).  Q.22 Le satellite étudié est Meteosat, qui se déplace dans le plan équatorial, à une distance r = 42164 km du centre de la Terre. Calculer sa période de rotation. Quel commentaire peut-on faire ? T2 =4 x 3,142 x(4,2164 107)3 / (6,67 10-11 x5,97 1024 )=7,43 109 ; T = 8,57 104 s ( ~24 heures). Meteosat placé sur l'orbite géostationnaire paraît  fixe pour un observateur terrestre ... .... Pour la suite, on ne suppose plus que le mouvement est circulaire.  Lors de la mise sur orbite du satellite, on a communiqué une énergie cinétique diérente de ce qui était prévue : la direction et le sens de la vitesse sont corrects mais sa norme est différente. La trajectoire du satellite est donc bien dans le plan équatorial, mais elle est elliptique. On a représenté sur la figure  la trajectoire circulaire en pointillés qu'aurait dû avoir le satellite, et en trait plein la trajectoire elliptique. Q.23 La formule établie à la question Q.20 donnant l'énergie mécanique reste valable, à condition de remplacer r par le demi grand-axe de l'ellipse. Justier que lors de sa mise sur orbite, l'énergie cinétique communiquée au satellite a été trop importante pour avoir un mouvement circulaire. Em = -½m GM / a. On donne sur la figure deux graphes possibles de l'énergie potentielle effective du satellite. Q.24 Préciser en justiant quel est le graphe correct. Energie mécanique Em = ½mv2 + Ep(r) =½mv2 + K / r + Cste. Or en coordonnées polaires v2 = r ' 2 +r2q' 2. Em =½m( r'2 +r2q'2)+ K / r + Cste. Or C =r2q' constante des aires. Em =½m r ' 2 +m C2 /(2r2)+ K / r + Cste=½m r ' 2 +Epeff(r). Dans le cas d'une force centrale attractive, K < 0. Si Em >0, le mouvement s'effectue entre r1 et l'infini ( état de diffusion). Si Em < 0 le mouvement est borné entre rmini et rmax ( état lié, ellipse). rmini et rmax sont solutions de l'équation : Emr2-Kr-mC2/2=0. Cette équation admet une solution double ( discriminant nul). Le mouvement est alors circulaire autour de O.

menu