Circuit RC, concours ingénieur travaux publics ITPE 2022.

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Remarque : sur le sujet,  les interrupteurs K1 et K2 sont absents. On les a placés afin d'être en accord avec la seconde figure.
Un supercondensateur est un dispositif permettant d'accumuler une très grande quantité de charges et donc une très grande énergie électrique, grâce à leur capacité très élevée. Ils peuvent se substituer aux accumulateurs et batteries utilisés comme sources d'énergie électrique. Un supercondensateur peut être représenté de manière simpliée par l'association en série d'une résistance très faible Rc = 1,0 · 10−3 W et d'un condensateur de capacité C = 800 F. On décide de charger et d'utiliser un supercondensateur selon le circuit de la figure suivante, où l'interrupteur K1 est fermé depuis très longtemps et K2 ouvert.
A un instant pris comme origine des temps, on ferme l'interrupteur K2. La force électromotrice est pour l'instant constante et vaut E = 12 V. On néglige Rc, qui n'apparaît donc pas dans le circuit.

Q.1 Préciser les valeurs prises par i, i1, i2 et u à t = 0−, juste avant de fermer K2, en fonction de tout ou partie des grandeurs suivantes : E, R1 et R2.
u = E, condensateur chargé.
Un condensateur chargé se comporte comme un interrupteur ouvert. i2 = 0.
i1 = 0, interrupteur K2 ouvert ; donc i = i2 = 0.
 Q.2 Juste après qu'on ait fermé K2, à t = 0+, toujours en fonction de E, R1 et R2, que valent i, i1, i2 et u ?
u =E ; continuité de la tension u ( la charge ou la décharge de C  n'est pas instantanée ).
Loi des mailles à gauche : E = R1i + UR2 = R1i + E ; donc  i = 0.
u = E = R2i1 ; i1 =i2= E / R2.
 Q.3 Quand t devient très grand, laquelle de ces grandeurs devient nulle ? Que valent les autres ?
u = ½E = constante ; i2 = Cdu/dt = 0.
i = i1 + i2 = i1 =E / (R1+R2).
u = R2 i1 =R2 E / (R1+R2) = ½E soit R1 = R2
 Q.4 Etablir l'équation différentielle vériée par u(t) et montrer qu'elle peut se mettre sous la forme suivante :
 du /dt + 1/ t u = E/ ( R1 · C) avec t = R1 · R2 · C / (R1+R2).
E =R1 i +u.
i2 = C du /dt ; i1 = u / R2.
i = i1 + i2 =u / R2 + C du /dt
E = R1 (u / R2 + C du /dt ) + u.
E = (R1 / R2  +1 ) u + R1 C du /dt.
E = (R1 +R2) / R2  u + R1 C du /dt.
du /dt + (1 / [(R1 +R2) /[ R2R1C)] u = E / (R1 C).
On pose t = R1 · R2 · C / (R1+R2).
  du /dt + 1/ t u = E/ ( R1 · C).
Q.5 Compte-tenu des conditions initiales trouvées plus haut, établir la solution u(t) pour t ≥ 0.
Solution générale de du /dt + 1/ t u =0 : u(t) =  A exp(-t / t) avec A une constante.
Solution particulière de l'équation complète : u(t=0) = E.
De plus u(t infini) = 6 V ( voir grahe suivant).
Par suite : u(t) = ½E exp(-t / t) +½E.

On donne le graphe de u en fonction du temps, pour t ≥ 0.

Q.6 Calculer numériquement, à partir de ce graphe, les valeurs de R1 et de R2, en précisant la méthode utilisée.
 t=R1 · R2 · C / (R1+R2)=200
R1 · R2 · 800 / (R1+R2)=200
R1 · R2  / (R1+R2)=0,25.
 4 R1 · R2 = R1+R2.
R1 = R2 = 0,5 ohm.
Autre solution R1 = 1 ohm et R2 = 1 / 3 ohm.
 Q.7 Calculer numériquement, pour t très grand, la puissance dissipée par effet Joule dans chacune des résistances.
i1R2 = i R1 = 6 soit i = i1 = 6/0,5=12 A
Pjoule = R1 i2 = R2 i12 =0,5 x122= 72 W.

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On souhaite maintenant utiliser le circuit pour effectuer du filtrage. Les résistances et le supercondensateur n'étant pas destinés à fonctionner en régime alternatif, on les remplace par un condensateur noté C1, de capacité beaucoup plus faible et par des résistances notées R3 et R4 valant pour l'instant toutes les deux R = 2,0 · 103 W. On note e(t) = E cos(wt) où w est la pulsation du générateur et E son amplitude. Le circuit modié est représenté.

On note e(t) = E exp(jwt) et u(t) = U exp(j(wt + F)) = U exp(jwt) avec j 2 = -1. 

Q.8 Exprimer la fonction de transfert H = U / E que l'on mettra sous la forme H = H0 / (1 + jω/ω0) où H0 est une constante à préciser et ω0 à exprimer en fonction de R et C1.
R3=R4=R.
Admittance complexe de la portion C1 R4 : Y =1/ R + j C1 w = (1+ j C1 R w ) / R.
Impédance complexe : Z1 = R / (1+ j C1 R w ).
Impédance complexe totale : Z = R +R / (1+ j C1 R w )= [ R(1+ j C1 R w )+R ] / (1+ j C1 R w ).
e = Z i ; u = Z1 i.
H = u  / e =R / [ R(1+ j C1 R w )+R ].
H =1 / [ 1+ j RC1  w )+1 ].
H =1 / [ 2(1+ j 0,5 jRC1 w ].
H0 =0,5 ; ω0=2/ (RC1 ).
Q.9 Préciser l'expression de F, en fonction de R, C1 et w.
H = H0 / (1 + jω/ω0)= H0 (1 - jω/ω0) / [1+(ω/ω0)2].
Argument de H = tan F= -ω/ω0 = -ω RC1  / 2.

On a tracé  le diagramme de Bode en gain de H, où H est le module de H.

Q.10 Quelle est la nature du fltre ainsi étudié ?
Filtre passe bas.
Q.11 Calculer numériquement la valeur de C1, en précisant la méthode utilisée.
Module de H =0,5 [1+(ω/ω0)2] -0,5.
20 log H =20 log (0,5)-10 log [1+(ω/ω0)2].= -6-10 log [1+(ω/ω0)2].
 ω0=2/ (RC1 )= 104.
C1 =2 /(104 R)= 2 /(2 107 )= 10-7 F.

On souhaite fltrer un signal sonore que l'on a enregistré et dont le spectre est représenté. Cet enregistrement est envoyé en entrée du circuit précédent.


Q.12 Combien de fréquences comporte le signal de sortie u(t) ?
Fréquence de coupure : fc = 104 / (2p) =1,6 103 Hz.
Le filtre passe bas atténue les fréquences supérieures à 1600 Hz.
Q.13 On considère que 400 Hz << f0. Déterminer les amplitudes des harmoniques de u(t). Tracer l'allure de u(t).

  
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