Mathématiques, Concours EMIA, école militaire interarmes 2021.

Exercice 1 : calculs algébriques.
Les questions suivantes sont indépendantes.
1. Soient deux réels a, b strictement positifs ; simplifier :

2. Simplifier :

3. Déterminer les parties réelles et imaginaires du nombre complexe :
z = 2 x 3^½ exp(-ip/3).
z = 2 x 3^½ (cos (-p/3) + i sin (-p/3)) = 2 x 3^½ ( 0,5 -i 3^½ /2) = 3^½ -3i.

4. Calculer et simplifier :

Exercice 2. Dérivées et primitives.
1. Calculer les dérivées des fonctions suivantes.
f(x) = e^x / x.
On pose u = e^x et v = x ; u' = e^x ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v² =(e^xx -e^x) / x² = e^x(x-1)/x².
f(x) = cos (x)⁵.
On pose u = x⁵ ; u' = 5 x⁴ ; f '(u) = -u' sin (u) =-5 x⁴ sin (x)⁵.
f(x) = x exp(x^½+1).
On pose u = x et v = exp(x^½+1) ; u' = 1 ; v' =0,5 x^-½exp(x^½+1).
u'v+v'u = exp(x^½+1) +0,5 x^½exp(x^½+1) = exp(x^½+1)(1+0,5 x^½).

2. Calculer une primitive pour chacune des fonctions suivantes.
f(x) = 1 /x^½ = x^-½. F(x) = 2 x^½.
f(x) = e^x(e^x+1)³.
On pose u = e^x+1 ; u' = e^x ; f(u) =u' u³ ; F(u) = u⁴ / 4 =(e^x+1)⁴ / 4.
f(x) = x² /(x+1).
Exprimer f(x) sous la forme ax+b+c / (x+1).
Réduire au même dénominateur : (ax²+ax+bx+b+c) / (x+1).
On identifie : a = 1 ; a+b = 0 soit b = -1 ; b+c = 0 soit c =1.
f(x) = -1+x + 1/(x+1) ;
F(x) = -x +0,5x²+ln(x+1).

3. Calculer l'intégrale suivante ( intégration par parties).
On pose u' = x² ; v=ln(x) ; u = x³ / 3 ; v' = 1 /x.

Exercice 3. Résolution d'équations.
1. Résoudre dans R l'équation suivante :
e^2x+3e^x=4.
On pose X =e^x >0.
X²+3X-4=0 ; discriminant D =3²+16=25 = 5².
Solution positive retenue : X = (-3+5) / 2 = 1 ; x = 0.
2. Résoudre dans R l'équation suivante : |2x+3| =5.
Si x > -1,5 : 2x+3 =5 ; x = 1.
Si x > -1,5 : -(2x+3) =5 ; x = -4.
3. Résoudre le système :
x+2y-z=1
x-y+z=2
xyz=0.
La troisième conduit à : x=0 ou y = 0 ou z = 0.
La somme des deux pemières donne : 2x+y = 3.
La différence des deux pemières donne : 3y-2z = -1.
Si x = 0 ; y = 3 ; z = 5.
Si y = 0 ; x=1,5 ; z = 0,5.
Si z = 0 ; y = -1 /3 ; x =5 /3.

Exercice 4. Calcul matriciel.
On considère les matrices :

Pour chacune des affirmations ou réponses suivantes, répondre VRAI ou FAUX sans justifier.
1. A+B = B n'existe pas. Vrai.
L'addition de matrices n'est possible que lorsque les matrices ont le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes.
2. AB =(2). Vrai.

3. CA = (⁶₂). Faux.
Le produit d'une matrice A par une matrice C est possible si et seulement si le nombre de colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice C.
4. CD = E. Vrai.

Exercice 5. Logique.
Pour chaque proposition suivante, donner leur négation.
1. " Pour tout x réel, f(x) diffère de zéro".
Il existe au moins un réel x pour lequel f(x) = 0.
2. Soit x réel : si f(x) < 0, alors x > 0.
Si f(x) < 0, alors x < 0.

Exeercice 6. Etude d'une suite numérique.
La suite (u_n) est définie pour tout entier naturel par :
u_n+1 = 0,4 u_n +3 et u₀ = -1.
On étudie également la suite (v_n) définie par : v_n = 5-u_n.
1. Démontrer que v_n = 6x(0,4)ⁿ.
v₀ =5-u₀=5-(-1)= 6.
v_n+1 = 5-u_n+1= 5-(0,4 u_n +3)=2-0,4 u_n= 0,4( 5-u_n)= 0,4 v_n.
(v_n) est une suite géométrique de raison 0,4 et de premier terme v₀ = 6.
Donc v_n = 6x(0,4)ⁿ.
2. Déterminer la limite de la suite (u_n).
-1 < 0,4 < 1, donc 0,4ⁿ tend vers zéro si n tend vers plus l'infini.
v_n tend donc vers zéro et u_n tend vers 5.
3. Déterminer en fonction de n la somme v₀ +v₁ +... +v_n.
Somme des termes d'une suite géométrique de raison 0,4 et de premier terme 6 :
6 (1-0,4ⁿ⁺¹) / (1-0,4) =10(1-0,4ⁿ⁺¹)
4. En déduire en fonction de n la somme u₀ +u₁ +... +u_n.
u_n = 5-v_n.
La somme u₀ +u₁ +... +u_n vaut : 5(n+1)-10(1-0,4ⁿ⁺¹)