Sciences physiques, Concours EMIA, école militaire interarmes 2021.

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L'orage.
I. Eclair et tonnerre.

1. L'onde sonore est-elle transversale ou longitudinale ? Justifier.
Onde longitudinale : l'onde se propage dans la même direction que la variation de pression, succession de dépression et surpression.
2. Calculer les longueurs d'onde correspondant à 20 Hz et 20 kHz, limites des fréquences audibles par l'homme.
cson = 340 m / s à 20°C.
lmin = cson / fmax =340 / 20 000 =0,017 m.
lmax = cson / fmin =340 / 20 =17 m.
3. Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant.
Affirmation 1 : une onde quelconque se propage toujours dans un milieu matériel.
Faux, une onde électromagnétique peut se propager dans le vide.
Affirmation 2 : une onde sonore peut se propager dans le vide.
Une onde mécanique ( onde sonore par exemple ) nécessite un milieu de propagation.
Lors d'un orage, la foudre tombe à 3,4 km d'un promeneur. L'éclair et le tonnerre sont émis simultanément au moment où la foudre tombe.
4. Au bout de combien de temps le promeneur verra t-il l'éclair ? Au bout de combien de temps entendra-t-il le tonnerre ?
Eclair : t = 3,4 103 / (3,0 108)~1,1 10-5 s.
Tonnerre : t = 3400 / 340 =10 s.
5. Justifier la technique qui consiste à compter les secondes entre l'éclair et le tonnerre et à les diviser par 3 pour obtenir la distance en km à laquelle la foudre  est tombée.
Secondes comptées / 3 = distance (m)  / ( 3 x 340) =distance ( km ) / (3 x0,34) ~ distance (km) / 1,02 ~ distance ( km)

II. Etude du condensateur  Terre-Ionosphère.
On considère que la terre et son atmosphère constituent les deux armatures d'un volumineux condensateur sphérique. La terre de rayon R est chargée négativement -Q, l'ionosphère, représentée par une surface équipotentielle de rayon R+h, porte une charge positive +Q. On suppose que l'atmosphère située entre les deux a la permitivité du vide e0.
1. Faire un schéma de la situation en plaçant un point M quelconque situé à la distance r du centre de la terre, telle que R < r < R+h. Représenter le repère sphérique au point M.

2. Justifier que le champ électrostatique en M ne dépend que de la variable r.
Dans une distribution sphérique, il y a invariance par rotations autour du point O, centre de la sphère. En M le champ électrostatique, ne dépend pas des coordonnées q et j. Le champ électrostatique en M ne dépend que de la variable r.
3. Citer des plans de symétrie et d'antisymétrie de la distribution de charges passant par le point M. En déduire la direction du champ électrostatique en M.
Tout plan contenant le point M et le centre O de la sphère est plan de symétrie de la distribution de charge. Donc le champ électrique en M appartient à tous ces plans, c'est à dire à la droite OM. Le champ électrique est selon cette droite, donc radial.
4. Appliquer le théorème de Gauss et montrer que
On considère comme surface de Gauss une sphère de centre O et  de rayon r = OM. Le champ étant constant sur cette surface et orthogonal à la sphère, le flux du champ à travers cette surface est simplement le champ multiplié par la surface :
F = 4 p r2 E(r)= -Q / e0.
5. Rappeler le lien entre le champ électrique et le potentiel V. Donner alors l'expression du potentiel V(r) puis celle de la différence de potentiel entre la terre et l'ionosphère DV = V(R+h) - V(R).
E = -dV / dr ; V(r) = Q /(4pe0r) + V0, avec V0 une contante d'intégration.
V(R) = Q /(4pe0R) + V0,
V(R+h)=Q /(4pe0(R+h)) + V0,
DV =Q /(4pe0) [1 /(R+h) - 1 / R]= -h Q / [4pe0(R+h)R].
6. En déduire la capacité C du condensateur terrestre définie par C = Q / DV en fonction de R, h et e0.
C = 4pe0(R+h)R / (-h)
7. Lors de l'émission d'un éclair, la tension est de l'ordre de 100 millions de volts. Calculer la charge Q. e0 = 8,85 10-12 F m-1. R = 6371 km et h = 80 km.
R+h =6451 km = 6,451 106 m.  R = 6,371 106 m.
Q = C U = 4 x3,14 x8,85 10-12 x 6,451 106 x6,371 106 /( -8,0 104) x 108=  -5,71 106 C.
Averse.
On étudie la chute d'une goutte d'eau, modélisée par une sphère de rayon a, de masse m, composée d'eau de masse volumique r = 1,0 103 kg m-3 et tombant dans l'air de masse volumique rair = 1,2 kg m-3. La goutte est soumise à une force de frottement fluide f = 6phav où v est sa vitesse et h = 2,0 10-5 Pa s est la viscosité de l'air.
1.  Justifier que l'on peut négliger la poussée d'Archimède devant son poids.
V : volume de la goutte.
Poids P = V r g ; poussée F = Vrair g.
P / F = r / rair=1,0 103 / 1,2 ~800.
2. En utilisant la seconde loi de Newton, établir l'équation différentielle vérifiée par la vitesse de la goutte.
L'axe Oz est dirigé vers le bas.
La goutte est soumise à son poids et à la force de frottement, verticale, vers le haut.
mg -6phav = m dv/ dt.
dv / dt  +6pha / m v = g.
On pose t = m / (6pha).
dv / dt +v / t = g. (E).
 3. Résoudre cette équation sachant que la vitesse initiale est nulle.
Solution générale de dv / dt +v / t =0 : v = A exp(-t / t) avec A une constante.
Solution particulière de (E) : vlim = g t.
Solution générale de (E) : v = A exp(-t / t) + g t.
La vitesse initiale étant nulle : 0 = A+ g t ; A = -g t.
v = g t ( 1- exp(-t / t)).
4. Montrer que vlim = 2a2rg/(9h).
 vlim = g t= gm (6pha) ; m = 4 / 3 p a3r.
 vlim = 2a2rg/(9h).
A.N : a = 2,00 mm = 2,00 10-3 m.
 vlim =2 x4,00 10-6x 103 x9,81 /(9 x2,0 10-5)=4,36 102 m /s.
a = 0,10 mm = 1,0 10-4 m.
 vlim =2 x1,00 10-8x 103 x9,81 /(9 x2,0 10-5)=1,1 m /s.
 5. Dessiner l'allure du graphe de v(t) en indiquant t et vlim.

La forme ronde d'une goutte est due à son énergie de surface Es = g S où g = 70 mN m-1 est la tension superficielle de l'eau et S la surface de la goutte. Lorsque la goutte s'écrase, elle dissipe la totalité dr son énergie cinétique Ec. Cela peut avoir pour effet de la faire exploser si son énergie de surface est inférieure à son énergie cinétique.
 6. Rappeler la formule de l'énergie cinétique.
Ec = ½m v2.
 7. En comparant les valeurs de Ec et Es de la goutte, déterminer l'expression de la valeur limite du rayon de la goutte pour qu'elle ne se fragmente pas en s'écrasant.
Fragmentation si Es < Ec.
g 4pa2 < ½mv2.
m = 4 / 3 pa3 r.
g < ra / 6 ; a >6 g / r.
a > 6 x70 / 1000 ; a > 0,42 mm.
8. Les gouttes de la question 4 vont-elles se fragmenter ?
La grosse goutte se fragmente ; la petite goutte ne se fragmente pas.

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 IV. Réactions nucléaires dans les nuages.
Des isotopes radioactifs 137 N et 158O naissent au coeur des nuages d'orages.
1. Donner la composition d'un noyau d'azote 14.
7 protons et 14-7 = 7 neutrons.
2 et 3. Quelle particule est émise lors de la réaction de transformation d'un noyau d'azote 14 en azote 13 sous l'effet d'un rayonnement g ? Ecrire l'équation correspondante.
147 N + 00 g --> 137 N +10 X ( neutron).
4. La particule émise a une énergie de E0 = 10 MeV. Convertir cette valeur en joule.
10 x 106 x1,6 10-19 =1,6 10-13 J.
 5. L'azote 13 décroît rapidement par radioactivité ß+. Quel est le type de particule émise ?
Transformation d'un proton en neutron : positon 01e.
11p --> 10n +01e.
6. En déduire la composition et la nature du noyau fils.
137 N --> 01e + 136 C.
7. Le temps de demi-vie de l'azote  13 vaut 598 s. Que signifie cette valeur ?
Au bout de 598 s, la moitié des noyaux d'azote 13 se sont désintégrés en carbone 13.

V. Protection des circuits électriques contre la foudre.
Fusible simple.
Son nom vient du fait qu'il y a fusion d'un filament conducteur sous l'effet de son élévation de température provoquée par la surintensité.
Les premiers fusibles étaient en plomb.
r = 11,35 103 kg m-3 ; Tf = 327 °C ; c = 129 J K-1 kg-1 ; g = 4,81 106 S m-1.

1. Tracer sur un graphe le calibre  In des 4 fils en fonction de leur section S. Que remarque t-on ?
Calibre In(A)
 2,5
 6
 10
 15
Diamètre d (mm)
 0,6
 1
 1,2
 1,5
Section S =pd2 / 4 mm2
 0,282
 0,785
 1,13
 1,77
In / S
 8,86
 7,64
 8,85
 8,47

3. Quelle est la puissane P dissipée par effet Joule dans le fusible de résistance R traversé par l'intensité I ?
P = RI2.
L'énergie électrique reçue par le fusible le chauffe pendant la durée Dt depuis la température T0 = 20 °C jusqu'à sa température de fusion.
PDt = mc (Tf-T0).
Résistance du fil de longueur L de section S : R = L /(gS).
4. Exprimer la masse m en fonction de sa masse volumique, de sa section et de sa longueur.
m = r L S.
5. Montrer que I est proportionnelle à S.
RI2Dt = mc (Tf-T0) ; L /(gS) I2Dt =  r L S.c (Tf-T0) .
I2Dt =  r  S2.c (Tf-T0)g .
I2 =  r  S2.c (Tf-T0)g / Dt.
I =  a S avec a = ( r c (Tf-T0)g / Dt)½=(11,35 103x129 x317 x4,81 106 / Dt)½=4,72 107/ Dt½.
6. En comparant l'expression de a obtenue à la question 5 à la valeur donnée à la question 2, en déduire le temps caractéristique  du fusible Dt.
8,6 A  / mm2 =8,6 106 A  / m2.
8,6 106  = 4,72 107/ Dt½.
Dt½ =47,2 / 8,6 ~5,48 ; Dt ~30 s.

Fusible composé.

On note U la tension aux bornes des trois branches.
1. Donner la relation liant les courants I, I1, I2 et I3.
Loi des noeuds : I = I1 + I2 + I3.
2. Dessiner le circuit équivalent à très basse fréquence ( courant quasi-continu ). A quelle condition a t-on  I1=I2=I3.
Les inductances se comportent comme des interrupteurs fermés ( petit fil conducteur ).

Si R1=R2=R3 alors I1=I2=I3.
On se place maintenant en régime sinusoïdal forcé de pulsation w.
3. Déterminer les imédances Zi des différentes branches.
 Zi = R + jLi w.
4. Donner l'expression des courants complexes Ii traversant les différentes branches.
Ii = U / Zi .
5. A haute fréquence, quel est l'effet domminant ? Quel terme peut-on négliger dans les expressions de Zi ?
L'effet domminant est du à l'inductance Li. Le terme R devient négligeable devant le terme Lw.
6. Quel est alors le déphasage entre le courant et la tension ? Lequel est en avance sur l'autre ?
La tension est en avance de ½p sur l'intensité.

  
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