Mathématiques, (exercices 9 à 16 ), concours Puissance alpha 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . .. .. ...... ... Exercice 9 : petite étude de suite. Pour tout entier naturel n, on pose :  - (un ) la suite de terme général un+1 = e un½ et de 1er terme u0 = 1. - (vn ) la suite de terme général vn = ln(un )−2.  - (Sn ) la suite de terme général Sn = v0 + v1 +···+ vn a) La suite (vn ) est une suite géométrique de raison q = 0,5. Vrai. ln(un+1 )=ln(e un½ )=ln(e) + 0,5 ln(un)= 1+0,5 ln(un). vn+1 =1+0,5 ln(un) -2 = -1 +0,5 ln(un) =0,5 ( ln(un) -2) = 0,5 vn. b) Pour tout entier naturel n, vn = 1 / 2n . Faux. v0 =ln(u0)-2=ln(1)-2= -2. vn = v0 x 0,5n = -2 x 0,5n= -2  / 2n = -1 / 2n-1.  c) Pour tout entier naturel n, un = e 2 / e 1/ (2n−1) . Vrai. vn +2= -1 / 2n-1+2  = ln(un). un = exp [-1 / 2n-1+2]= e2 / exp (1 / 2n-1).  d) La suite (Sn ) converge vers 2 . Faux. Sn =v0 x(1-qn+1) / (1-q) = -2 ( 1-0,5n+1) / 0,5 = -4( 1-0,5n+1). -1 < 0,5  < 1, donc 0,5n+1tend vers 0 si n tend vers plus l'infini. La suite (Sn ) converge vers -4 Exercice 10 : Un peu de logiqur avec les suites. (un) est une suite géométrique de terme général un et de raison q un nombre réel. a) La suite (un ) est strictement croissante si et seulement si q > 1. Faux. un = u0 qn ; un+1 = u0 qn+1 ; un+1-un = u0 qn (q-1). u0 qn (q-1).>0 si : u0 >0 et q >1. b) Si la suite (un ) est croissante alors un tend vers plus l'infini si n tend vers plus l'infini. Faux. Si q = 0,5 et u0 = -1 : un+1-un = u0 qn (q-1) >0 et la suite est croissante. Par contre un = - 0,5n tend vers zéro si n tend vers plus l'infini.  c) La réciproque du b) est fausse. Faux. Réciproque de b. " Si n tend vers plus l'infini, un tend vers plus l"infini, alors la suite est croissante ". un+1-un = u0 qn (q-1). u0 qn (q-1).>0 si : si u0 >0 et q >1 , alors la suite est croissante .  d) La contraposée du b) est vraie. Faux. Contraposée de b. " Si n tend vers plus l'infini, un tend vers plus l"infini, alors la suite est croissante ". Excecice 11 : calculs de limites.   a. Pour n > 1, la suite de terme général un = (2n+1) / (1-2n) diverge. Faux. un = 2n(1+1 / 2n) / [2n(1 / 2n-1)]=(1+1 / 2n) / (1 / 2n-1). En plus l'infini, 1 / 2n tend vers zéro et un tend vers -1.  b) Pour n > 2, la suite de terme général vn = (n - 2 sin(n) / (1-n2) diverge. Faux. vn =n2 (1 / n - 2 sin(n) / n2) / [n2(1/n2-1)] =(1 / n - 2 sin(n) / n2) / (1/n2-1) En plus l'infini : 1 / n2 tend vers zéro et un tend vers 0.  c) La limite en plus l'infini de x / e2x+1 est égale à zéro. Faux. x / e2x+1 =0,5 (2x / e2x)+1. Par croissance comparée, en plus l'infini 2x / e2x tend vers zéro et x / e2x+1 tend vers 1.  d) La limite quand x tend vers e de (ln(x)-1) / (x-e) = 1 / e. Vrai. La fonction f(x) = ln(x) est définie sur ]0 ; +oo[. Pour tout a >0, quand x tend vers a, la limite de (f(x) - f(a)) / (x-a) = f '(a). f '(x) = 1 /x tend vers 1/ e si a = e. Exercice 12. Calculs d'intégrales. .... Exercice 13. Distance d'un point à un plan. b. La distance du point A au plan est égale à AH = |axA+byA+czA+d| / (a2 +b2 +c2)½. Vrai. b. AH x n = |axA+byA+czA+d| ; n = (a2 +b2 +c2)½. ABCDEFGH est un cube tel que AB = 1. I est le centre du carré EFGH.   c) 0,5x-0,5y+0,5z =0 est une équation cartésienne du plan (BEG). Vrai. E(0 ; 0 ; 0) appartient à ce plan : axE+byE+czE+d= 0 conduit à d = 0. B(0 ; 1 ; 1) appartient à ce plan : axB+byB+czB= 0 conduit à b = -c. G(1 ; 1 ; 0) appartient à ce plan : axG+byG+czG= 0 conduit à a = -b=c. Equation de ce plan : x-y+z=0 ou 0,5x-0,5y+0,5z =0. d) Le volume V du tétraèdre DBGE est égale à V = 1 /3. Aire su triangle BEG : EG x BI / 2. = EI x BI. EI = 2½ / 2 ; B(0 ; 1 , 1) ; I(0,5 ; 0,2) ; BI = (0,52 +0,52+12)½ =1,5½. Aire su triangle BEG  =3½/ 2. Hauteur DK du tétraèdre issue de D : K appartient au plan BEG : xK-yK+zK =0. DK= |xD-yD+zD | / (12 +12 +12)½ = 2 / 3½. V = 1 / 3 aire de base fois hauteur = 1 / 3 x3½ / 2 x2 /3½ =1 /3. Exercice 14. Etude d'une fonction logarithme. f(x) = (1 +ln(x)) / (x-1)2 ; g(x) = -x-1-2x ln(x). . a) Le domaine de définition de f est ]0 ; +oo[ ; le domaine de définition de g est ]0 ; +oo[. Faux. Le domaine de définition de f est ]0 ; 1 [ union ]1 ; +oo[. Le domaine de définition de g est ]0 ; +oo[.    b) g'(x) = - 2 ln(x) -3 et g admet e-1,5 comme maximum. Faux. Dérivée de x ln(x) : on pose u =x et v = ln(x) ; u' = 1 ; v' = 1 /x. u'v+v'u = ln(x) +1. g'(x) = -1-2ln(x) -2 = -3 -2 ln(x). g'(x) = 0 : -3 -2 ln(x). =0 ; ln(x) = -1,5 ; x = e-1,5. g'(x) >0 si -3 -2 ln(x) >0 ; ln(x) > -1,5 et x > e-1,5 ; g(x) est strictement croissante sur ]0 ; e-1,5 ]. g(x) est strictement décroissante sur [ e-1,5 ; +oo[. g admet un maximum en x = e-1,5 ;  ce maximum vaut -e-1,5-1-2e-1,5 ln(e-1,5).  c) La courbe représentative de f admet une asymptote horizontale et deux asymptotes verticales. Vrai. La droite d'équation x = 1 est asymptote verticale. La droite d'équation x = 0 est asymptote verticale. Quand x tend vers plus l'infini, f(x) tend vers 0 : l'axe des abscisses est asymptote horizontale. d.  f '(x) = g(x) / (x(x-1)3]. Vrai. Exercice 15 : notions de base sur les complexes. a. (3½+i)2 = 2+2  *3½ i. Vrai. 3+i2+2 *3½i =3 -1+2 *3½i =2+2  *3½ i. z1 = 1+i *3½ ; z2 = 1-i ; Z = z25 / (conjugué de z1)4. b. z1 / z2 = 2½ exp(7 i p /12). Vrai. |z1| =(1+3)½ = 2 ; z1 / |z1| =0,5 + i *3½  / 2 = cos(p/3) +i sin (p/3) , z1 = 2 exp(i p /3). |z2| =(1+1)½ = 2½ ; z2 / |z2| =1 / 2½ - i  / 2½ = cos(-p/4) +i sin (-p/4) , z2 = 2½ exp( -i p /4). z1 / z2 = 2½ exp( i (p /3 + p /4)) = 2½ exp(7 i p /12). c) cos(7  p /12)= (2½-6½) / 4 et  sin(7  p /12)= (2½+6½) / 4. Vrai. z1 / z2 = (1+i *3½) / (1-i) = (1+i *3½)(1+i) / (1-i2)=[1 +i2*3½ +i(1+3½] / 2 =[1 -3½ +i(1+3½] / 2. z1 / z2 =2½ exp(7 i p /12)= 2½ [cos(7 i p /12)+i sin(7 i p /12)]. On identifie : cos(7 i p /12) =(1 -3½) / (2*2½ )= (2½-6½) / 4. sin(7  p /12)=(1+3½] / (2*2½ )= (2½+6½) / 4. d) Z = 2½ / 4 exp(i p /12). Vrai. (conjugué de z1)4 = 24exp( -i 4p / 3). z25 =22,5 exp( -i 5p / 4)). Z =22,5 exp( -i 5p /4+i 4p / 3) / 24 =2-1,5exp( i p /12)=2½ / 4 exp( i p /12). Exercice 16 : géométrie et nombres complexes. A, B, C et M sont les points d'affixes respectives zA = -1+i, zB =0,5 i, zC = -0,25 +1,25 i et z=x+iy avec x et y deux réels. Soit f définie pour tout nombre complexe différent de zA par f(z) = (2z-i) / (z+1-i).  a) La partie réelle de f(z) est Re(f(z)) = (2x2+2x+2y2-3y+1) / [(x+1)2 +(y-1)2] et la partie imaginaire de f(z) est égale à im(f(z)) = (x+2y-1) / [(x+1)2 +(y-1)2]. Vrai. f(z) = (2x+i(2y-1)i) / (x+1+i(y-1)). f(z) = (2x+i(2y-1) ) (x+1-i(y-1)) / [(x+1+i(y-1)) (x+1-i(y-1)]. (2x+i(2y-1)) (x+1-i(y-1)) =2x(x+1) -i2(2y-1)(y-1) +i[(x+1)(2y-1)-2x(y-1)] =2x2+2x+2y2-3y+1 +i(2xy-x+2y-1-2xy+2x). (x+1+i(y-1)) (x+1-i(y-1) = (x+1)2 -i2(y-1)2 =(x+1)2 +(y-1)2. .  b) L'ensemble des points M tel que f(z) soit un nombre réel est un cercle privé d'un point. Faux. im(f(z)) doit être nulle soit x+2y-1 =0.avec x différent de -1 et y différent de 1. Doite d'équation x+2y-1 =0 privée du point A.  c)  L'ensemble des points M tel que f(z) soit un imaginaire pur est une droite privée d'un point. Faux. Re(f(z)) doit être nulle soit . (2x2+2x+2y2-3y+1) avec x différent de -1 et y différent de 1 ( point A exclu).. x2+x+y2-1,5y+0,5=0. (x+0,5)2 -0,25 +(y-0,75)2 -0,752+0,5 = 0. (x+0,5)2 +(y-0,75)2 = -1/ 4 +9/16 =5/16 = (5½ /4)2. Cercle de centre (-0,5 ; 0,75) de rayon 5½ / 4 privé du point A.  d) Le trianle ABC est rectangle isocèle. Vrai. zB-zA=1-0,5i AB2 = |zB-zA| 2= 1+0,52  =1,25 = 5 / 4.. zC-zA=0,75 +0,25i AC2 = |zC-zA| 2= (3 / 4)2+(1 / 4)2  =10 / 16 = 5 / 8. zC-zB=  0,25 +0,75i BC2 = |zC-zB| 2= (1 / 4)2+(3 / 4)2  =10 / 16 = 5 / 8. AC = BC, le triangle est isocèle. AC2 +BC2 =AB2 ; le triangle est rectangle en C.

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