Suites arithmético-géométriques, raisonnement par récurrence, Oral concours Advance 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . .. .. ...... ... Suites arithmético-géométrique.   On considère les suites u et v telles que u0 =1 et pour tout entier n : un+1 =0,5 un +3 et vn = un-6. 1. La suite (un) est-elle arithmétique ? Géométrique ? Justifier. u1=0,5 u0+3=0,5 +3=3,5. u2=0,5 u1+3=1,75 +3=4,75. u1-u0=2,5. u2-u1=1,25. u1-u0 diffère de u2-u1. un+1 diffère de un + r avec r réel : ce n'est pas une suite arithmétique. u1 / u0=3,5. u2 / u1=4,75 /3,5 diffère de 3,5. un+1 diffère de q un avec q réel : ce n'est pas une suite géométrique. 2. Montrer que la suite (vn) est géométrique. vn+1 = un+1-6 = 0,5 un +3-6 =0,5 un-3 =0,5(un-6) =0,5 vn. (vn) est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme -5. 3. En déduire l'expression de vn puis de un en fonction de n. vn= 0,5n v0 = -5 x0,5n. un = vn +6 = 6 -5 x0,5n. Déterminer la raison et calculer des termes. 1. La suite (un) est arithmétique. u0 = -2 et r =5. Déterminer u15. u15 = u0+15 r=-2+15 x 5=73. 2. La suite (vn) est arithmétique. v6 =4 et r = -3. Déterminer v15. v6=v0+6 r ; v0 =4 +6 x 3= 22. v15=v0+15 r = 22 +15 x (-3)= -23. 3. La suite (wn) est arithmétique. w4 =2 et w10 = 14. Déterminer la raison r et w0. w4=w0+4r =2.  w10=w0+10r =14. 10r-4r=12 ; r = 2. w0= -4r +2 = -6. 4. La suite (tn) est arithmétique. t2 +t3 +t4 =12. Déterminer t3. t2 = t0 +2r ; t3 = t0 +3r ; t4 = t0 +4r ; 3 t0 +9r =12. t3= t0 +3r =4. Un lac contient 70 centaines de grenouilles hermaphrodites, elles peuvent changer de sexe au cours de leur vie. La apopulation est stable au cours du temps. Au début de l'année 2020, le lac contient 7 centaines de mâles, et 63 centaines de femelles. Chaque année, 20 % des mâles deviennent femelles et de même 20 % des femelles deviennent mâles. Soit un le nombre de centaines de mâles au début de l'année 2020 +n. Ainsi u0 = 7. 1. Montrer que u1 = 18,2. u1 = u0 -0,2  x7 +0,2 x 63=18,2. 2. Montrer que un+1=0,6 un +14 pour tout entier naturel n. un+1 = un -0,2 un +0,2 (70-un)=14+0,6 un. 3. Que dire de (un) ? Suite arithmético-géométrique de paramètre a = 0,6 et b = 14. 4. Exprimer un en fonction de n. Etape 1 :  recherche de c tel que c = ac+b ; c =0,6 c +14 : c = 14 / 0,4 = 35. Etape 2 : soit la suite (vn) définie par vn= un-35. vn+1= un+1-35 = 0,6 un +14-35 =0,6 un -21 =0,6(un-35) = 0,6 vn. (vn) est géométrique de raison q = 0,6 et de premier terme v0 = 7-35= -28. Etape 3 : vn = -28 x0,6n = un-35. un = 35-28 x0,6n. 5. Déterminer la limite de (un) et conclure. -1 < 0,6 < 1 ; donc 0,6n tend vers zéro si n tend vers plus l'infini. La limite de (un) est égale à 35. Au bout d'un temps assez long, il y a 35 centaines de males et 35 centaines de femelles. Raisonnement par récurrence. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul : 1 / (1 x3) + 1 /(3 x5) +....+1/ [(2n-1)(2n+1)] = n / (2n+1). Initialisation :1 / (1 x 3) = 1 / (2 x1+1) est vraie. Hérédité : la propriété est supposée vraie au rang n. 1 / (1 x3) + 1 /(3 x5) +....+1/ [(2n-1)(2n+1)] = n / (2n+1). A =1 / (1 x3) + 1 /(3 x5) +....+1/ [(2n-1)(2n+1)] + 1 / [(2n+1)(2n+3)]. A = n / (2n+1)+ 1 / [(2n+1)(2n+3)] = [n(2n+3)+1] / [(2n+1)(2n+3)]. A = (2n2+3n+1) / [(2n+1)(2n+3)] = 2(n+1)(n+0,5) / [(2n+1)(2n+3)] A = (n+1) / (2n+3), la prorpiété est vraie au rang n+1. Conclusion : la prorpiété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel non nul. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul : 13 +33 +...+(2n-1)3 = 2n4-n2. Initialisation :13 = 2x14-12. est vraie. Hérédité : la propriété est supposée vraie au rang n. 13 +33 +...+(2n-1)3 = 2n4-n2. B =13 +33 +...+(2n-1)3 +(2n+1)3 = 2n4-n2+(2n+1)3 . B = 2n4-n2 +8n3+12n2+6n+1=2n4+8n3+11n2+6n+1. Or (n+1)4=(n2+2n+1)2 =n4+4n3+6n2+4n+1. 2(n+1)4=2n4+8n3+12n2+8n+2. -(n+1)2 =-n2-2n-1. 2(n+1)4-(n+1)2 =2n4+8n3+11n2+6n+1. La propriété est vraie au rang n+1. Conclusion : la prorpiété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel non nul. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 8n-1 est divisible par 7. Initialisation : 81-1 = 7 est divisible par 7. La propriété est vraie au rang 1. Hérédité : la propriété est supposée vraie au rang n. 8n-1 = 7 k avec k entier naturel non nul. 8n+1-1 =8 x 8n-1 = 8 x(7k+1)-1 =8 x 7 k+8-1 = 8 x 7 k +7 = (8k+1) x7 est divible par 7. Conclusion : la prorpiété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel non nul. .... Modéliser un problème à l'aide d'une suite. Un entrepreneur investit un capital de départ de 20 000 € pour son entreprise. Puis il injecte chaque mois une somme supplémentaire à ce capital. Cette somme diminue de 30 % chaque mois. 1. Calculer le capital investi à la fin de la première année. u0 = 20 000 ; u1 = 0,7 u0 = 14 000 ; u2 = 0,7 u1 = 9800. un : capital injecté le n ième mois. un+1 = 0,7 un. (un) est une suite géométrique de raison q = 0,7  et de premier terme u0 = 20 000. Capital investi au bout de 1 an : S = u0 +u1 +... +u11. S1 = 20000( 1+0,7 +0,72 ...+0,711)= 20 000 (1-0,712) /(1-0,7)  ~65744 . 2. Que peut-on penser de l'évolution de la somme total du capital investi dans un futur éloigné. -1 < 0,7 <1 ; 0,7n tend vers zéro si n tend vers plus l'infini. Le capital investi tend vers 20 000 / 0,3 ~66 667. Soit (un) une suite vérifiant pour tout n entier naturel, un+1=3 un et u15 = 10. Suite géométrique de raison q = 3 et de premier terme u0. a. Déterminer u30. u15 = u0 315 =10 ; u0 =10 x 3-15. u30 = u0 330 =10 x 315. b. Déterminer u15 + u16 +...+u30. u0+u1 +... +u14 =u0 (1-315) / (1-3)=0,5 u0(315-1). u0+u1 +... +u30 =u0 (1-331) / (1-3)=0,5 u0(331-1). u15 + u16 +...+u30 =0,5 u0(331-315) = 5 x3-15(331-315)=5  (316-1). Soit S =0,5 +2 +7 / 2 +....+19 / 2 +11. Déterminer S après avoir vérifié que S est la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique. u0 = 0,5 ;  u1 = 2 =u0+1,5 ; u2 = 3,5 =u1+1,5. un=11 = u0 +1,5 n ; n =7. Suite arithmétique de premier terme u0 = 0,5 et de raison r = 1,5. Somme des 8 premiers termes de cette suite : S = 8(0,5 +11) / 2 =46. Soient (un) et (vn) définies pour tout n entier naturel par : un = 1 +1 /2 +1/3 +...+1 / n et vn = un+1 /n. Etudier la monotonie de ces suites. un+1 -un =1 /(n+1), positif. (un) est strictement croissante. vn+1 -vn =un+1+1 / (n+1) - un+1 / n = un+1 -un +1 / (n+1)-1 / n = 2 /(n+1) -1 / n = (n-1) / [n(n+1)] positif ou nul. (vn) est croissante. Soit (un) une suite vérifiant pour tout n entier naturel, un+1 = 3un+4 et u0 = 2. Soit (vn) = (un+2). a. Montrer que (vn) est géométrique. vn+1 = un+1+2 =3un+4 +2 = 3un+6 = 3(un+2) = 3 vn. (vn) est géométrique de raison q = 3 et de premier terme v0 = 4. vn = 4 x 3n. b. En déduire (vn) puis (un) en fonction de n. vn = 4 x 3n =un+2 ; un = 4 x 3n -2. Soit (un) une suite vérifiant pour tout n entier naturel, un+1 = un+6 et u5 = 3. a. Déterminer u20. Suite arithmétique de raison r = 6 et de premier terme u0 : u5 = u0 + 5 x6 = 3 ; u0 = -27. u20 = u0 + 20 r =  -27 +20 x6 = 93. b. Déterminer u5 +u6 +... +u20. u4=u0 + 4 r =-27+24 = -3. u0 + u1 +... +u4 = 5(u0+u4) / 2 = -75. u0 + u1 +... +u20 = 21(u0+u20) / 2 =693. u5 +u6 +... +u20 = 693 -(-75) =768. Soit (un) une suite vérifiant pour tout n entier naturel un+1 = (un+1)½ et u0 = 2. a. Montrer par récurrence que (un) est décroissante et minorée par 1. Initialisation : u1 = (u0+1)½ =3½. 1 <u1 < u0, la propriété est vraie au rang 1. Hérédité : La propriété est supposée vraie au rang n. 1 <un+1 < un, 2 < un+1 +1 < un +1. Or la fonction racine carrée est croissante : 2½ < (un+1 +1)½ < (un +1)½. 1 < 2½ < un+2  < un+1 . La propriété est vraie au rang n+1. Conclusion : la prorpiété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel. b. Etudier la convergence de (un). La suite est décroissante et minorée par 1, donc elle converge. On note l la limite de la suite. En plus l'infini, la limite de un+1 est égale à l. Par suite  : l = (l+1)½ ; l2-l-1 = 0. Discriminant D = 1+4=5. l1 = (1+5½) / 2 ; l2 = (1-5½) / 2, négatif, ne convient pas.

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