Mathématiques, Bts groupe A Métropole 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... Exercice 1. 11 points La communication par courants porteurs en ligne (ou CPL) permet de transmettre des informations en utilisant des conducteurs électriques en fonctionnement. Le principe des CPL consiste à superposer au réseau électrique un signal de haute fréquence et de basse énergie. Ce deuxième signal se propage sur l’installation électrique et peut être reçu et décodé à distance. Les parties A, B, C de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.  Partie A : Étude d’un signal On s’intéresse à une tension périodique U. On note T sa période. 1. On donne ci-dessous une représentation graphique de U, exprimée en volt (V ), en fonction de t exprimé en microseconde (µs). Rappel : 1 µs = 10−6 s. a. D’après la représentation graphique ci-dessus, quelle est la valeur de T en microseconde ? T = 10 µs.  b. La fréquence d’un signal périodique, en Hz, suit la formule : f =1 / T , où T est exprimé en seconde. Quelle est la fréquence de la tension périodique U ? f = 1 /(10 x10-6 ) = 1,0 105 Hz.  2. On modélise l’évolution de U (en volt) en fonction de t (en microseconde) à l’aide d’une fonction numérique f définie sur R. Ainsi : U = f (t). On admet que la fonction f est paire, périodique de période T , développable en série de Fourier et vérifie, pour tout réel t : a. Quelle est la valeur de bn pour tout entier n > 1 ? Justifier. La fonction étant paire, les termes en bn sont nuls.  b. Justifier que a0 = 9,6.  3. La valeur efficace de U, notéeUeff,; montrer que : Ueff ≈ 10,7 V. 4. Le signal correspondant à la tension U est envoyé sur une ligne moyenne tension transportant une tension efficace de M = 20000 V. Le taux de distorsion harmonique par rapport au fondamental, noté TF , est donné par la formule suivante : TF = [Ueff2 -a02) / M2]½.  On considère qu’un CPL n’a pas d’incidence sur le réseau si TF est inférieur à 0,1 %. Le CPL étudié dans la partie A a-t-il une incidence sur le réseau ? TF = [10,72 -9,62) / 20 0002]½=2,4 10-4 soit 2,4 10-2 %. Cette valeur étant inférieure à 0,1 %, il n'y a pas d'incidence. Partie B : Transmission numérique Le signal porteur étudié en partie A peut être utilisé pour transmettre des signaux numériques (bits) durant chaque période. Dans certaines conditions des bits peuvent être mal transmis. On se place, dans cette partie, dans ces conditions. On transmet, durant chaque période, 80 bits. Chaque bit a une probabilité égale à 0,015 d’être mal transmis. On note X la variable aléatoire qui associe à chaque période le nombre de bits mal transmis durant cette période. 1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? On précisera ses paramètres. Aucune justification n’est demandée. X suit une loi binomiale de paramètres n = 80 et p = 0,015.  2. Calculer la probabilité que tous les bits soient correctement transmis durant une période. Arrondir la réponse au millième. P(X=0) = (1000) x0,0150 x(1-0,015)80 = 0,298. 3. Calculer la probabilité que strictement plus de 4 bits soient mal transmis. Arrondir la réponse au millième. P'X >4)=1-P(X < 4)=1-0,993 =0,007.  4. a. Calculer l’espérance de la variable aléatoire X. R(X) = n p = 80 x 0,015=1,2.  b. On considère que la ligne est de bonne qualité si, en moyenne, moins de deux bits sont mal transmis durant une période. La ligne est-elle de bonne qualité ? 1,2 < 2 : la ligne est de bonne qualité. Partie C : Durée de vie d’un coupleur CPL Un coupleur CPL est un équipement qui permet de transmettre le signal entre deux conducteurs de la ligne. On s’intéresse à la durée de vie, en situation normale de fonctionnement, de coupleurs CPL d’une certaine marque. On modélise la durée de vie, exprimée en année, d’un tel coupleur par une variable aléatoire Y suivant une loi normale de moyenne 12 et d’écart-type 2. 1. Calculer la probabilité qu’un coupleur ait une durée de vie comprise entre 10 et 12 ans. Arrondir la réponse au millième. P(10 < Y < 12) =0,341 ( donné par la calculatrice)  2. Calculer la probabilité qu’un coupleur ait une durée de vie supérieure à 10 ans. Arrondir la réponse au millième. P(Y > 10) = 0,841 ( donné par la calculatrice)  3. Sachant qu’un coupleur est toujours en fonctionnement au bout de 10 ans, calculer la probabilité qu’il cesse de fonctionner dans les deux années suivantes. Arrondir la réponse au millième. P Y >10 (Y < 12)=P(Y >10 n P(Y < 12) / P(Y > 10) = P(10 < Y <12) / P(Y > 10) = 0,341 / 0,841 ~0,40. ... .... Exercice 2. 9 points Le montage suivant est composé d’une bobine d’inductance L = 0,001 henry et d’une résistance R (en ohm), assemblées en série. Ce montage est utilisé pour l’extraction d’un signal CPL haute fréquence du réseau. Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.  Partie A : Test du filtre Dans cette partie, la valeur de R est un paramètre strictement positif fixé. Pour tester ce montage on le soumet à une tension d’entrée constante ve = 12 volts. On s’intéresse à la tension de sortie vs(t), exprimée en volt, en fonction du temps t (en seconde), aux bornes de la bobine L. À t = 0, on admet que la tension aux bornes de la bobine est égale à 12 volts. La tension vs vérifie, pour tout t > 0 :  v ′ s (t)+ R / L vs(t) = 0.  1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E) : y ′ (t)+ R / L y(t) = 0. y(t) = A exp(-R / L t) avec A une constante. y(t) = A exp(-R t /00,001) = A exp(-1000 R t). 2. En déduire que pour tout t > 0 : vs(t) = 12e−1 000 R t . A t = 0,  vs(0) = 12 =A e0 = A.  3. a. Quel est le sens de variation de la fonction vs ? Justifier. v 's(t) = -1000 R x 12 e−1 000 R t  < 0. vs(t) est strictement décroissante.  b. Déterminer la limite de vs(t) lorsque t tend vers l’infini. Justifier. e−1 000 R t  tend vers zéro si t tend vers plus l'infini. vs(t) tend vers zéro.  4. En précisant la méthode utilisée, déterminer la valeur de R (à 0,1 ohm près) telle que, pour t = 0,001, la tension vs(t) soit égale à 1 % de la tension d’entrée ve . vs(0,001) = 12e−R =12 x0,01 ; e-R = 0,01 ; -R = ln(0,01) ; R =4,6 ohms. Partie B : Étude du filtre Dans cette partie, on poursuit l’étude du montage représenté en début d’énoncé. On rappelle que L = 0,001 henry et on prend R = 5 ohm. On soumet le montage à une tension d’entrée ve (t), en volt, en fonction du temps t (en seconde). On s’intéresse à la tension de sortie vs(t), en volt, en fonction du temps t (en seconde), aux bornes de la bobine L. On admet que la fonction de transfert du montage est : H(p) = p / ( p +5000 ) . On rappelle que l’on a : Vs(p) = H(p)×VE (p), où VE (p) est la transformée de Laplace de ve (t) et Vs(p) est la transformée de Laplace de vs(t).  1. On considère que pour tout réel t : ve (t) = 12U (t)−12U ( t −8×10−6 ) . Déterminer la valeur de ve (t) pour t < 0, puis pour 0 < t < 8 × 10−6 et enfin pour t > 8×10−6 . U(t) = 0 si t < 0 et U(t) =1 si t >0. U(t-8 10-6) =0 si t < 8 10-6 ; U(t-8 10-6) =1 si t > 8 10-6 ; ve(t) = 0 si t < 0. vs(t) = 12 si 0 < t < 8 10-6. vs(t) = 0 si t > 8 10-6.  2. a. Déterminer la transformée de Laplace VE (p) de ve (t). VE(p) = 12 / p -12 / p exp(-8 10-6 p) b. En déduire que : Vs(p) = 12 /(p +5000) − 12 /(p +5000) exp(-8 10-6 p). Vs(p) = H(p)×VE (p)= p /(p+5000) x [ 12 / p -12 / (p+5000) exp(-8 10-6 p)]. 3. Exprimer vs(t) en fonction de t et de la fonction échelon U . vs(t) = 12 exp(-5000t) x U(t) -12exp(-5000(t-8 10-6)) xU(t-8 10-6).  4. On a représenté la tension de sortie vs en fonction de t exprimé en microseconde. Sur le même graphique représenter la tension d’entrée ve . Que constate-t-on ? Les tensions vs(t) et ve(t) prennent quasimént les mêmes valeurs.

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