Mathématiques, concours TSEEAC technicien supérieur de l'aviation civile 2019.

Partie 1.
On désigne par (D) l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant : z = 1-2i +e^iq, q étant un nombre réel.
A. (D) est une droite passant par le point d'affixe 2-2i.
B. (D) est le cercle de centre le point d'affixe -1+2i et de rayon 1.
C. (D) est le cercle de centre le point d'affixe 1-2i et de rayon 1. Vrai.
D. (D) est le cercle de centre le point d'affixe 1-2i et de rayon 3^½.
L'ensemble des points M d'affixe z vérifiant z =w +R e^iq, ( R réel strictement positif, w est un nombre complexe ) est le cercle de centre W d'affixe w et de rayon R ( R = 1 et w = 1-2i dans ce cas).

Question 2.
On désigne par (E) l'ensemble des points M d'affixe z qui vérifient |z-1+i| = |z+1+2i|.
Les points A, B et C ont respectivement pour affixe : 1-i, 1+2i et -1-2i.
Précisez la phrase ou les phrases qui est ( sont) vraie(s).
A. C est un point de (E).
B. (E) est la médiatrice du segment [AB].
C. (E) est la médiatrice du segment [AC]. Vrai.
D. (E) est le cercle de diamètre [AB].
|z-z_A| = |z-z_C|, donc M est la médiatrice du segment [AC].

Question 3.
On considère dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : z +|z²| = 7+i. Cette équation admet :
A. Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1. Vrai.
B. Une solution réelle.
C. Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1.
D. Une solution qui a pour partie imaginaire 2.
z = x + iy avec x et y réels.
x+iy +x²+y² = 7+i.
On identifie : iy = i soit y = 1.
x²+y² +x =7 ; x²+1 +x =7 ; x² +x -6=0.
Discriminant D =1+4*6 = 25 = 5².
x₁ =(-1 +5) / 2 = 2 ; x₂ =(-1 -5) / 2 = -3.
Par suite z₁ = 2+i ; z₂ = -3+i.

Partie 2.
Question 4.
On considère les points A(1 ; 2 ; -1), B(1 ; 1 ; 0), C(9 ; -1 ; -2) et S(1 ; 1 ; 1).
Précisez la phrase ou les phrases qui est ( sont) vraie(s).
A. Une équation cartésienne du plan (ABC) est : -x-2y-2z+3=0. Vrai.

Equation de ce plan : -x-2y-2z+d=0.
B appartient à ce plan :-1-2+d=0 ; d = 3.
B. Une équation cartésienne du plan (ABC) est : x+2y+2z+3=0.
C. Une équation paramétrique de la droite (AB) est : x=-1 ; y=-2-t ; z = 1+t avec t réel.
D. Une équation paramétrique de la droite (AB) est : x= 1 ; y= 2-2t ; z = -1+2t avec t réel.
Le vecteur de coordonnées (0 ; -1 1) est un vecteur directeur de cette droite (AB) :
x =x_A =1 ; y = -t+y_A = -t+2 ; z =t +z_A =t-1avec t réel.

Question 5.
Les coordonnées du point S' symétrique du point S par rapport au plan (ABC) sont :
A. 8 /9 ; 7 /9 ; 7 /9 ; B. 5 /9 ; 1 /9 ; 1 /9 vrai ; C. 7 /9 ; 5 /9 ; 5 /9 ; D. 1/9 ; 5 /9 ; 5 / 9.
(SS') orthogonal au plan (ABC).
x_S'-x_S =x_S'-1=-k avec k réel ; x_S'= -k+1.
y_S'-y_S =y_S'-1=-2k ; y_S'= -2k+1.
z_S'-z_S =z_S'-1=-2k ; z_S'= -2k+1.
De plus le milieu I de [S S'] appartient au plan.
Coordonnées du point I : (-k /2+1) ; -k+1 ; -k+1).
-x_I-2y_I-2z_I+3=0.
k/2-1 +2k-2+2k-2+3=0 soit k =2 /4,5 =4 / 9.
S' (5 / 9 ; 1 /9 ; 1 /9).

Question 6.
Le triangle ABC est :
A. équilatéral ; B. isocèle ; C. rectangle en A ; D. rectangle en C.
AB² = 0 +(-1)²+1² = 2.
AC² = 8² +(-3)²+(-1)² = 74.
BC² = 8² +(-2)²+(-2)² = 72.
AC² =BC² +AB² , le triangle ABC est rectangle en B.

Partie 3.
On dispose de deux urnes U₁ et U₂ contenant des boules indiscernables au toucher.
U₁ contient k boules blanches ( k entier supérieur ou égal à 1) et 3 boules noires.
U₂ contient 2 boules blanches et une boule noire.
On tire une boule au hasard dans U₁ et on la place dans U₂.
On tire ensuite au hasard, une boule dans U₂.
L'ensemble de ces opérations constitue une épreuve E.
On note B₁ ( respectivement N₁) l'événement :
On a tiré une boule blanche ( respectivement noire) dans U₁ et P(B₁) ( respectivement P(N₁)) les probabilités associées.
On note B₂ ( respectivement N₂) l'événement :
On a tiré une boule blanche ( respectivement noire) dans U₂ et P(B₂) ( respectivement P(N₂)) les probabilités associées.
Question 7.
Le calcul de P(B₂) donne :
A. 1 / 2. B. 3 /4. C. (3k+6) / (4k+7). D. (3k+6) / (4k+12). Vrai.

Question 8.
Le calcul de P(N₂) donne :
A. 1 / 2. B. 1 /4. C. (k+1) / (4k+7). D. (k+18) / (4k+12).

Question 9.
Un joueur mise 8 € et effectue une épreuve E.
Soit X la variable aléatoire égale à la somme relative dont il dispose à la fin de l'épreuve. Si à la fin de l'épreuve, le joueur tire une boule blanche, il reçoit 12 € de la banque. Sinon il ne reçoit rien et sa mise revient à la banque. Nous avons alors :
A. X appartient à { -8 ; 4 }.
B. X appartient à [ -8 ; 4 ]. Vrai.
C. X appartient à [ -8 ; 12 ].
D. X appartient à { -8 ; 12 }.

Question 10.
Précisez la phrase qui est vraie ou les phrases qui sont vraies :
A. Le jeu est favorable au joueur à partir de 7 boules blanches au total c'est à dire en comptant les boules blanches des deux urnes.
B. Le jeu est favorable au joueur pour un maximum de 7 boules blanches au total c'est à dire en comptant les boules blanches des deux urnes.
C. Le jeu est favorable au joueur à partir de 9 boules blanches au total c'est à dire en comptant les boules blanches des deux urnes. Vrai.
D. Le jeu est favorable à la banque pour un maximum de 5 boules blanches au total c'est à dire en comptant les boules blanches des deux urnes.
Loi de X :

Valeur de X	4	-8
Probabilité	(3k+6) / (4k+12).	(k+6) / (4k+12).
gain relatif	(3k+6) /(k+4)	-2(k+6) / (k+4)

Ou comparer 3k+6 et 2(k+6). Egalité de gain pour k = 6.
Jeu favorable au joueur si 3k+6 > 2k+12 ; soit k > 6. k
Le joueur gagne plus que la banque si k > 6 ( nombre total de boules blanches > 9).
La banque gagne plus que le joueur si k < 6 ( nombre total de boules blanches < 7).
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