Le
principe du saut à la perche repose sur la conversion de l’énergie
cinétique, issue de la course
d’élan du perchiste, en énergie potentielle de pesanteur.
L’athlète plante la perche en bas du sautoir et la plie. L’énergie
cinétique issue de la course est
alors transformée en énergie élastique et emmagasinée par la perche.
Lorsque celle-ci se détend,
elle restitue cette énergie élastique à l’athlète. On passe ainsi d’un
mouvement horizontal, la course,
à un mouvement vertical, le saut. Aujourd’hui, les perches en fibre de
carbone restituent de manière
quasiment intégrale l’énergie emmagasinée.
Dans cet exercice, il s’agit d’étudier les transferts d’énergie lors de
la phase d’ascension, de
déterminer la vitesse d’impact de l’athlète sur le tapis et de vérifier
que l’épaisseur du matelas de
réception évite que l’athlète ne se blesse.
Dans tout l’exercice, on assimile l’athlète à son centre de masse
et on note z l’altitude par rapport
au sol.
A. Étude de la phase
ascendante.
Le mouvement complet d’Armand Duplantis, lors de son record du
monde, est filmé puis étudié à
l’aide d’un logiciel de pointage. Les données de la partie ascendante
du mouvement sont traitées à
l’aide d’un programme écrit en langage python qui permet de représenter
l’évolution au cours du
temps des énergies cinétique Ec, potentielle de pesanteur Epp,
potentielle élastique Epe et
mécanique Em du système défini par l’ensemble {sportif + perche}. Un
extrait de ce programme est
donné ci-dessous :
Pour la partie ascendante du mouvement de l’athlète, on obtient les
courbes suivantes :
A.1. Identifier
parmi les courbes A et B, celle représentant l’énergie cinétique et
celle
représentant l’énergie potentielle de pesanteur. Justifier les choix.
L'énergie potentielle de pesanteur augmente ( courbe B) et l'énergie
cinétique diminue, puis augmente lorsque la perche restitue de
l'énergie ( courbe A ).
A.2. Recopier et
compléter le code des lignes 27 et 28 du programme.
Ec[i]=0,5*m*v**2
Epp[i]=m*g*z
A.3. Extraire du
programme la valeur de la vitesse initiale d’Armand Duplantis.
v = 10,063 m /s.
L’énergie potentielle élastique augmente avec la déformation de
la perche.
A.4. Identifier,
parmi les trois situations ci-dessous, celle qui correspond à t = 0,9
s. Justifier
A t = 0,9 s, l'énergie cinétique passe par un minimum et la perche
courbée au maximum va commencer à restituer de l'énergie.
( situation 2).
Armand Duplantis franchit la barre grâce à une technique d’enroulement.
Ainsi, son centre de
masse se situe en un point A légèrement au-dessous de la barre au
moment du franchissement.
A.5. En exploitant
le graphique précédent, déterminer la valeur de l’altitude maximale z
A,
par
rapport au sol, atteinte par le centre de masse de l’athlète.
Au point le plus haut, l'énergie cinétique est nulle, l'énergie
potentielle de pesanteur vaur environ 4700 J.
Masse de l'athlète m = 79,0 kg.
z
A = 4700 / (79,0 x9,81) =6,06 m.
B. La vitesse d’impact sur
le tapis de réception.
Au moment du franchissement de la barre, le centre de masse de
l’athlète se situe à l’altitude z
A et
sa vitesse est considérée comme nulle.
On note z
B l’altitude du centre de masse de l’athlète au
moment de son impact avec le tapis.
On négligera l’action de l’air.
B.1. Justifier qu’après
le franchissement de la barre, l’athlète est en chute libre.
En négligeant l'action de l'air, l'athlète n'est soumis qu'à son poids.
B.2. En utilisant le
théorème de l’énergie cinétique ou la loi de conservation de l’énergie
mécanique, déterminer l’expression de la vitesse d’impact de l’athlète
sur le tapis en
fonction de g, z
A et z
B.
On donne z
B - z
A = 5,31 m.
B.3. Calculer la
valeur de la vitesse d’impact de l’athlète.
L'énergie mécanique initiale est sous forme potentielle : mgz
A
L'énergie mécanique finale est ½mv
2.+mgz
B.
Conservation de l'énergie mécanique :
½mv2.+mgzB. = mgzA.
v2 = 2g(zA-zB).
v = [2g(zA-zB)]½ =(2 x9,81
x5,31)½ =10,2 m /s.
C. Épaisseur du
matelas.
On considère le repère (Oxz) axe vertical orienté vers le haut.
Au moment où l’athlète arrive sur le matelas, son centre de masse est
animé d’une vitesse dont
la composante verticale est v = -10,2 m∙s
-1
.
On considère que la composante horizontale de la vitesse est nulle .
On modélise l’action du matelas sur l’athlète par une force constanteF
verticale vers le haut.
Pour ne pas provoquer de blessures lors de la phase de réception, le
matelas se déforme pour que
la valeur de l’accélération subie par le corps de l’athlète ne dépasse
pas 10 fois l’accélération de la
pesanteur, soit 10 × g.
On se place dans le cas où l’accélération est maximale : a
z =
10 × g.
C.1. Après avoir
fait un bilan des forces s’exerçant sur Armand Duplantis lors de la
réception et
en utilisant la seconde loi de Newton, démontrer que la valeur F de la
force exercée par le
tapis est égale à 8,52 kN.
L'athlète est soumis à son poids, verticale, vers le bas, valeur mg =
79,0 x9,81 =775 N et à l'action du matelas F, verticale vers le haut.
La seconde loi de Newton projetée sur l'axe vertical s'écrit :
-mg +F = ma
z ; F = mg + ma
z =m(g+a
z)
=79,0 (9,81 +98,1)=8,52 10
3 N = 852 kN.
C.2. En prenant l’instant
du contact entre l’athlète et le tapis comme origine des temps
et en se plaçant dans le repère (Oxz), montrer que les équations
horaires du mouvement
de l’athlète s’écrivent :
v
z
(t) = 10 × g × t + v
0z
et z(t) = 5 × g × t
2
+ v
0z × t + z
B.
La vitesse est une primitive de l'accélération v
z = a
zt
+cste.
à t=0 v
z = v
0z d'où :
vz
(t) = 10 × g × t + v0z .
La position est une primitive de la vitesse : z(t) = 5 × g × t
2
+ v0z × t + Cste.
à
t=0 z = zB d'où : z(t) = 5 × g × t 2
+ v0z
× t + zB.
C.3. Déterminer la
durée de la phase de réception.
A la fin de la réception v
z = 0 soit :t = 10,2 / 98,1 =0,104
s.
Le tapis de réception a une épaisseur de 82 cm.
C.4. Montrer
que cette épaisseur est suffisante pour que l’athlète ne soit pas
blessé par le sol.
z
B = 6,06-5,31 = 0,75 m
z(0,104) = 5 × 9,81 × 0,104
2 -10,2 × 0,104 +0,75 =.0,530-1,06+075=0,22 m.
zB-0,22 = 0,53 m = 53 cm < 82 cm.
L'athlète ne se blesse pas.