Mathématiques, fonction logarithme,  Bac Amérique du Sud 9 / 2022.

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Le but de cet exercice est d’étudier la fonction f , définie sur ]0 ; +∞[ ,par :
 f (x) = 3x − x ln(x)−2ln(x).
 PARTIE A : Étude d’une fonction auxiliaire g
Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = 2(x −1)− x ln(x). On note g ′ la fonction dérivée de g. On admet que la limite en plus l'infini de g(x) est −∞.
1. Calculer g(1) et g(e).
g(1) = 2(1-1)-ln(1) = 0.
g(e) = 2(e-1) -e ln(e) = 2e-2-e = e-2.
2. Déterminer la limite en 0+ de  g(x) en justifiant votre démarche.
2(x-1) tend vers -2.
ln(x) tend vers moins l'infini.
x ln(x) tend vers 0.
g(x) tend vers -2.
 3. Montrer que, pour tout x > 0, g ′ (x) = 1−ln(x). En déduire le tableau des variations de g sur ]0 ; +∞[.
On pose u = x, v = ln(x) ; u' = 1 ; v' = 1 /x.
u'v+v'u = ln(x) +1.
Par suite g'(x) = 2-(1+ln(x) = 1-ln(x).
Si x appartient à ]0 ; e[, g'(x) > 0 et g(x) est croissante.
Si x appartient à ]e ; +oo[, g'(x) < 0 et g(x) est décroissante.
Si x = e, g'(x) = 0 et g(x) présente un maximum.

4. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet exactement deux solutions distinctes sur ]0 ; +∞[ : 1 et a avec a appartenant à l’intervalle [e ; +∞[. On donnera un encadrement de a à 0,01 près.
Sur ]0 ; e[ la fonction g(x) est dérivable donc continue.
-2 < 0 < e : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel ß tel que g(ß)= 0.
Or g(1) = 0, donc ß = 1.
Sur ]e ; +oo[ la fonction g(x) est dérivable donc continue.
 g(x) décroît de 0,718 à -oo, il existe donc un unique réel a tel que g(a)= 0.
Or g(4,92) ~0,0009 et g(4,93)~-0,005, donc a appartient à ]4,92 ; 4,93[.
5. En déduire le tableau de signes de g sur ]0 ; +∞[.

PARTIE B : Étude de la fonction f
On considère dans cette partie la fonction f , définie sur ]0 ; +∞[,par f (x) = 3x − x ln(x)−2ln(x). On note f ′ la fonction dérivée de f . La représentation graphique Cf de cette fonction f est donnée ci-dessous. On admet que la limite de f(x) en zéro est plus l'infini.

1. Déterminer la limite de f en +∞ en justifiant votre démarche.
f(x) = x( 3-ln(x)-2 ln(x) / x)).
En plus l'infini :
par croissance comparée ln(x) / x tend vers zéro ;
ln(x) tend vers plus l'infini ; 3-ln(x) tend vers moins l'infini ;
par produit des limites, f(x) tend vers moins l'infini.
2. a. Justifier que pour tout x > 0, f ′ (x) = g(x).
Dérivée de x ln(x) : ln(x) +1.
f '(x) = 3-(ln(x)+1)-2/x =3-1-ln(x)-2 /x = 2-ln(x) -2 /x =(2x-ln(x)-2) / x =g(x) / x.
b. En déduire le tableau des variations de f sur ]0 ; +∞[.
x étant positif, le signe de f'(x) est celui du numérateur.

3. On admet que, pour tout x > 0, la dérivée seconde de f , notée f ′′, est définie par f ′′(x) = (2− x) / x 2 . Étudier la convexité de f et préciser les coordonnées du point d’inflexion de Cf .
f "(x) s'annule et change de signe en x= 2.
f "(x) >0 sur ]0 ; 2[ et f(x) est convexe.
f "(x) <0 sur ]2 ; +oo[ et f(x) est concave.
Le point de coordonnées (2 ; f(2) ) est le point d'inflexion de la courbe.


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Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par g(x) = 1+ x 2 [1−2ln(x)].
La fonction g est dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[ et on note g ′ sa fonction dérivée. On appelle C la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormé du plan.
 PARTIE A
1. Justifier que g(e) est strictement négatif.
g(e) = 1+e2(1-2ln(e)) =1+e2(1-2)=1+e2(1-2)=(-1)(1+e2).
2. Justifier que la limite de g(x) en plus l'infini est -oo.
En plus l'infini :
ln(x) tend vers plus l'infini ;
1-2ln(x) tend vers moins l'infini ;
par produit des limites, x 2 [1−2ln(x)] tend vers moins l'infini.
3. a. Montrer que, pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[, g ′ (x) = −4x ln(x).
On pose u = x2; v = 1-2 ln(x) ; u' = 2x ; v' = -2 /x.
u'v+v'u = 2x(1-2ln(x) -2x = -4x ln(x).
 b. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[
Si x appartient à ]0 ; 1[, g'(x) > 0 et g(x) est croissante.
Si x appartient à ]1 ; +oo[, g'(x) < 0 et g(x) est décroissante.
Si x = 1, g'(x) = 0 et g(x) présente un maximum.

c. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution, notée ß, sur l’intervalle [1 ; +∞[.
Sur ]1 ; +oo[ la fonction g(x) est dérivable donc continue.
 g(x) décroît de 2 à -oo, il existe donc un unique réel ß tel que g(ß)= 0.
d. Donner un encadrement de ß d’amplitude 10−2 .
Or g(1,89) ~0,024 et g(1,90)~-0,024, donc ß appartient à ]1,89 ; 1,90[.
4. Déduire de ce qui précède le signe de la fonction g sur l’intervalle [1 ; +∞[.


PARTIE B
 1.
On admet que, pour tout x appartenant à l’intervalle [1 ; α], g ′′(x) = −4[ln(x)+1]. Justifier que la fonction g est concave sur l’intervalle [1 ; ß].
ln (x) >0 ; ln(x) +1 >0 ;  g "(x) < 0 ;  g est concave sur [1 ; ß].
2. Sur la figure ci-dessous, A et B sont les points de la courbe C d’abscisses respectives 1 et ß.

 a. Déterminer l’équation réduite de la droite (AB).
A(1 ; 2 )  appartient à la droite (AB) :
yA = axA+b ; 2 = a+b.
B(ß ; g(ß=0) ) appartient à la droite (AB) :
yB = axB+b ; 0 = aß+b soit b = -aß.
Par suite 2 =a-aß=a(1-ß) ;
a = 2/(1-ß) ; b = 2-a = 2-2 /(1-ß) =-2ß /(1-ß).
y = 2x /(1-ß) -2ß /(1-ß). 
b. En déduire que pour tout réel x appartenant à l’intervalle [1 ; ß], g(x) > -2x /(ß-1) +2ß/(ß-1).
Sur cet intervalle, g(x) est concave, sa courbe représentative se situe au dessus de toutes sécantes, donc au dessus du segment [AB].
Donc g(x) > -2x /(ß-1) +2ß/(ß-1)..



  
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