Mathématiques, suites,  Bac Amérique du Sud 9 / 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... Soit (un) la suite définie par u0 = 4 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,2 u2n . 1. a. Calculer u1 et u2. u1 = 0,2 u20 =0,2 x 42 =3,2. u2 = 0,2 u21 =0,2 x 3,22 =2,048. b. Recopier et compléter la fonction ci-dessous écrite en langage Python. Cette fonction est nommée suite_u et prend pour paramètre l’entier naturel p. Elle renvoie la valeur du terme de rang p de la suite (un). def suite_u(p) : u=4  for i in range(1,p) : u =0,2*u*u. return u  2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 < un < 4. Initialisation : la propriété est vraie au rang zéro. Hérédité : 0 < un < 4 est supposée vraie au rang n. 0 <  u2n <  16 ; 0 < 0,2 u2n < 0,2 *16 ; 0 < 0,2  u2n < 3,2 < 4. 0 < un+1 < 4. La propriété est vraie au rang n+1. Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier n.  b. Démontrer que la suite (un) est décroissante. un+1-un = 0,2 u2n -un =un(0,2 un -1) avec un positif et inférieur à 4, donc 0,2 un-1 < 0. un+1-un < 0 ; la suite est donc décroissante.  c. En déduire que la suite (un) est convergente. La suite est décroissante et minorée par zéro, donc elle converge. 3. a. Justifier que la limite l de la suite (un) vérifie l’égalité l =0,2 l 2 . En plus l'infini : limite de un = l limite de un+1 =limite de 0,2 u2n =  0,2 l2  la limite de un+1 est égale à la limite de un. Soit l = 0,2 l2. b. En déduire la valeur de l. Solution de l'équation x = 0,2 x2 ; 0,2x2-x=0 ; x(0,2x-1)=0. x = 0  ; x = 5. Or 0 < un < 4. La solution x = 5 n'est pas retenue. Donc l = 0. 4. Pour tout entier naturel n, on pose vn = ln(un) et wn = vn −ln(5). a. Montrer que, pour tout entier naturel n, vn+1 = 2vn −ln(5). vn+1 = ln(un+1)= ln(0,2 u2n ) =ln(0,2) +2 ln(un) =  -ln(5)+2 ln(un). vn+1 = -ln(5) + 2 vn. b. Montrer que la suite (wn) est géométrique de raison 2. wn+1 = vn+1 −ln(5) = 2 vn - 2 ln(5) = 2(vn-ln(5)) = 2 wn. c. Pour tout entier naturel n, donner l’expression de wn en fonction de n et montrer que vn = ln(0,8) ×2 n +ln(5). wn =w0 * 2n ; w0 = v0 -ln(5) = ln(u0) - ln(5) =ln(4) - ln(5) = ln(4 / 5) = ln(0,8). wn =ln(0,8) * 2n ; vn = wn +ln(5) =ln(0,8) * 2n+ ln(5).  5. Calculer la limite en plus l'infini de vn et retrouver la limite de un en plus l'infini. ln(0,8 ) < 0 ; en plus l'infini, 2n tend vers plus l'infini ; ln(0,8) * 2n tend vers moins l'infini ; vn tend vers moins l'infini. vn = ln(un)  ; un = exp(vn) tend donc vers zéro. ... .... La population d’une espèce en voie de disparition est surveillée de près dans une réserve naturelle. Les conditions climatiques ainsi que le braconnage font que cette population diminue de 10 % chaque année. Afin de compenser ces pertes, on réintroduit dans la réserve 100 individus à la fin de chaque année. On souhaite étudier l’évolution de l’effectif de cette population au cours du temps. Pour cela, on modélise l’effectif de la population de l’espèce par la suite (un) où un représente l’effectif de la population au début de l’année 2020+n. On admet que pour tout entier naturel n, un > 0. Au début de l’année 2020, la population étudiée compte 2 000 individus, ainsi u0 = 2000. 1. Justifier que la suite (un) vérifie la relation de récurrence : un+1 = 0,9un +100. Chaque année la population diminue de 10 % ( multiplication par 0,9) :  0,9 un. On introduit chaque année 100 individus : 0,9 un +100. 2. Calculer u1 puis u2. u1 = 0,9 u0 +100 =2000 *0,9 +100 = 1900. u2 = 0,9 u1 +100 =1900 *0,9 +100 = 1810. 3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : 1000 < un+1 < un. Initialisation : 1000 < u1 < u0. la propriété est vraie au rang zéro. Hérédité : 1000 < un+1 < un est supposée vraie au rang n. 900 <  0,9un+1 <  0,9un ; 1000 <  0,9un+1 +100<  0,9un +100. 1000 < un+2 < un+1. . La propriété est vraie au rang n+2. Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier n. 4. La suite (un) est-elle convergente ? Justifier la réponse. un+1-un =0,9 un+100-un =100 -0,1 un avec un > 1000. un+1-un < 0. La suite est minorée par 1000. La suite est décroissante et minorée, donc elle converge.  5. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = un −1000. a. Montrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,9. vn+1 = un+1 −1000 = 0,9 un +100 -1000 =0,9(un-1000)=0,9 vn.  b. En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 1000(1+0,9n ). vn = v0 x0,9n ; v0 = u0 -1000 = 2000-1000 = 1000. vn = 1000 x0,9n ; un = vn +1000 =1000 x0,9n  +1000 = 1000 (1+0,9n ). c. Déterminer la limite de la suite (un). En donner une interprétation dans le contexte de cet exercice. -1 < 0,9 <1; donc 0,9n tend vers zéro en plus l'infini. 1+0,9n tend donc vers 1 en plus l'infini. Au bout d'un temps assez long, la population se stabilise à 1000 individus.  6. On souhaite déterminer le nombre d’années nécessaires pour que l’effectif de la population passe en dessous d’un certain seuil S (avec S > 1000).  a. Déterminer le plus petit entier n tel que un < 1020. Justifier la réponse par un calcul. 1000 (1+0,9n )< 1020. 1+0,9n  < 1,02. 0,9n  < 0,02. n ln(0,9) < ln(0,02). n >ln(0,02 / ln(0,9) ;  n > 37,12 soit 38 ans.  b. Dans le programme Python suivant, la variable n désigne le nombre d’années écoulées depuis 2020, la variable u désigne l’effectif de la population. Recopier et compléter ce programme afin qu’il retourne le nombre d’années nécessaires pour que l’effectif de la population passe en dessous du seuil S. def population(S) :   n=0 3  u=2000  while u >1 020 : u= 0.9*u+100  n = n + 1  return n

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