Mathématiques, cinétique, acide base, l'adrénaline, bac STL Métropole 2022.

Mathématiques.
1 Soit la fonction 𝑓 définie et dérivable sur R par f(x) = (8x − 2)e^-x. On note f ' sa fonction dérivée. Déterminer f '(x) (𝑥) pour tout 𝑥 réel.
On pose u = 8x-2 et v = e^-x ; u' = 8, v' = -e^-x.
u'v +v'u = 8e^-x-(8x-2)e^-x=(10-8x)e^-x.

2. Soit la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = (8𝑥 − 2)𝑒^−𝑥 Résoudre 𝑓(𝑥) = 0.
e^-x >0.
8x-2 = 0 ; 8x = 2 ; 4x = 1 soit x = 0,25.

3. On considère une fonction 𝑔 définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 13]. On note g ′ sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée g ′ sur l’intervalle [0 ; 13].

Julien affirme que la fonction 𝑔 est décroissante sur l’intervalle [0 ;13]. Julien a-t-il raison ? Justifier.
g '(x) > sur [0 ; 4] et g(x) est croissante.
g '(x) < sur [4 ; 13] et g(x) est décroissante.
Julien a tord.

4. Montrer que ln(√8) / ln(√2) = 3.
ln(8^½)=0,5 ln(8) =0,5 ln(2³) = 0,5 x3 ln(2) = 1,5 ln(2).
ln(2½) = 0,5 ln(2).
Par suite : 1,5 ln(2) / (0,5 ln(2) = 1,5 /0,5 = 3.

5. Soit 𝑓 la fonction définie et dérivable sur R par f(x) = e^6𝑥 − 1. Déterminer la limite de la fonction 𝑓 lorsque 𝑥 tend vers moins l'infini.
Le terme en exponentielle tend vers zéro et f(x) tend vers -1.

6. ABCD est un carré de côté 4 et ABF est un triangle rectangle en B avec BF= 3 comme indiqué sur la figure ci-dessous. Donner la valeur du produit scalaire suivant :

Cinétique chimique, réactions acido-basiques.
Apportée au sol, l’urée, de formule CO(NH₂)₂ doit être transformée en ions ammonium (NH₄ ⁺ ) puis en ions nitrate (NO₃ ^- ) avant que les plantes ne puissent l’absorber. Les enzymes uréases du sol sont des vecteurs de ce processus qui comporte une étape d’hydrolyse. Source : d’après https://www.yara.fr/fertilisation/pur-nutriment/urease-inhibitors.
La réaction d’hydrolyse de l’urée libère des ions ammonium NH₄⁺ et carbonate CO₃ ^2- selon l’équation suivante :
CO(NH₂) ₂ (aq) + 2 H₂O (ℓ) → 2 NH₄ ⁺ (aq) + CO₃ ^2- (aq)
L’objectif de cet exercice est d’étudier la cinétique de cette réaction d’hydrolyse de l’urée. On réalise pour cela trois expériences de suivi cinétique de celle-ci, où l’eau est toujours en large excès.
Expérience 1 : concentration initiale en urée : 0,10 mol / L ; température : 75°C.
Expérience 2 : concentration initiale en urée : 0,20 mol / L ; température : 75°C.
Expérience 3 : concentration initiale en urée : 0,20 mol / L ; température : 95°C.
Les courbes tracées grâce à ces expériences sont présentées.
1. Définir le temps de demi-réaction.
Le temps de demi-raction est le temps au bout duquel l'avancement est égal à la moitié de l'avancement final.
2. Déterminer graphiquement la valeur du temps de demi-réaction pour chacune des trois expériences. Les traits de construction apparaîtront sur chaque courbe.

3. En déduire l’influence de la concentration initiale en urée sur la durée de la transformation chimique. Justifier.
La concentration de l'urée n'influence pas la transformation. (égalité des temps de demi-réaction expériences 1 et 2).
4. À l’aide des résultats de la question 2, déterminer l’influence de la température sur la durée de la transformation chimique. Justifier.
La température est un facteur cinétique. (comparaison des temps de demi-réaction expériences 3 et 2).
5. Expliquer pourquoi la température peut être qualifiée de « facteur cinétique ».
Une augmentation de température accroît la vitesse de laréaction.
On s’intéresse désormais uniquement à l’expérience 1.
6. Écrire la relation de définition de la vitesse de disparition de l’urée au cours du temps.
v = - d[urée] / dt.
La courbe ci-dessous présente l’évolution de la vitesse de disparition de l'urée en fonction de la concentration en urée.

7. À l’aide de la courbe ci-dessus, montrer que la réaction d’hydrolyse de l’urée suit une loi de vitesse d’ordre 1 par rapport à l’urée.
La vitesse est proportionnelle à la concentration de l'urée v = k [urée] avec k une constante.
8. À partir de la relation écrite à la question 6, établir la loi d’évolution de la concentration en urée au cours du temps en fonction de la constante de vitesse k et de la concentration initiale en urée notée [urée]₀.
- d[urée] / dt. = k [urée]
d[urée] / [urée] = -kdt.
Intégrer entre 0 et t : ln [urée]-ln[urée]₀ = -kt.
[urée] = urée]₀ e^-kt.
9. Déterminer graphiquement la constante de vitesse k en h^-1
Coefficient directeur de la droite : 0,014 / 0,05 =0,28 h^-1.
10. On reproduit l’expérience 1 en présence d’une enzyme naturellement présente dans les sols : l’uréase. On détermine alors un temps de demi-réaction égal à 2 µs. Indiquer le rôle joué par l’uréase. Expliquer la réponse.
L'uréase joue le rôle de catalyseur enzymatique qui augmente la vitesse de la réaction..
La dissolution de granulés d’urée dans le sol entraîne localement une augmentation temporaire du pH du sol liée à la formation d’ions hydroxyde HO^- . L’ion ammonium, lié aux particules du sol, se transforme alors en ammoniac gazeux (NH₃) qui s’échappe dans l’atmosphère, augmentant les pertes en élément azote par volatilisation.
11. La transformation des ions ammonium NH₄ ⁺ en ammoniac gazeux NH₃ fait intervenir les couples acide-base NH₄ ⁺ / NH₃ et H₂O / HO^-. Écrire les équations de réactions acido-basiques associées à chacun de ces deux couples acide-base.
NH₄ ⁺ aq --> NH₃aq +H⁺aq
HO^-aq + H⁺aq --> H₂O(l).
12. En déduire l’équation de la réaction modélisant la transformation chimique entre les ions ammonium NH₄ ⁺ et les ions hydroxyde HO^- .
NH₄ ⁺ aq +HO^-aq--> NH₃aq + H₂O(l).
13. Justifier que cette réaction est bien une réaction acido-basique.
Il y a échange de proton entre l'acide NH₄ ⁺et la base HO^-.