Mathématiques, bac STL 2022.

Dans cet exercice, on s’intéresse à l’énergie stockée dans la batterie d’un téléphone portable. Cette grandeur s’exprime en kWh. Lorsque la batterie est totalement chargée, l’énergie stockée vaut 0,715 kWh. Lors du branchement de la batterie vide sur une borne de recharge, l’énergie stockée dans la batterie (en kWh) en fonction du temps t (en heure) est modélisée par une fonction f définie sur [0; +∞[ par : f(t) =a e^-t+b où a et b sont deux réels à déterminer.
Question 1 : 1.a. Sachant que la limite en plus l'infini de f(t) = 0,715, déterminer la valeur de b.
e^-t tend vers zéro si t tend vers plus l'infini. b = 0,715.
1.b. Sachant que 𝑓(0) = 0, déterminer la valeur de a.
0 = a e⁰+0,715 ; a = -0,715.
Dans les questions suivantes, on admet que pour tout nombre réel 𝒕 ≥ 𝟎 ∶ 𝒇(𝒕) = −𝟎, 𝟕𝟏𝟓 𝐞^{- 𝒕} + 𝟎, 𝟕𝟏𝟓
Question 2 : Montrer que pour tout nombre réel 𝑡 ≥ 0 , 𝑓(𝑡) < 0,715.
e^-t varie de 1 à 0.
-0,715e^-t varie de -0,715 à 0.
-0,715e^-t +0,715 varie de 0 à 0,715.

Question 3 : 3.a. Déterminer la fonction dérivée f ' de la fonction f.
3.b. En déduire le sens de variation de la fonction 𝑓 sur [0; +∞[ .
f '(t) = 0,715 e^-t.
La dérivée étant strictement positive, f(t) est strictement croissante de 0 à 0,715

Question 4 : La durée de demi-charge est le temps nécessaire pour charger à 50% une batterie qui était vide au départ. Déterminer la durée de demi-charge de la batterie de ce téléphone en minute et seconde, arrondie à la seconde.
0,715 / 2 =0,3575 = -0,715 e^-t½+0,715.
0,3575 =0,715e^-t½.
e^-t½= 0,5.
-t½ =ln(0,5) = -ln(2)
t½ = ln(2) heures ou 2495 s ou 41 min 35 s.

Question 5 : On considère la fonction en langage Python suivante :
from math import exp
def temps(pourcentage)
t=0
y=0
while y < pourentage*0,715 :
t = t+1 / 60
y =-0,715*exp(-t) +0,715
return (t)
Que renvoie l’exécution de l’instruction temps(0,15) ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Ce programme renvoie le temps pour atteindre 15 % de la charge maximale.
0,715 x 0,15 = -0,715 e^-t½+0,715.
0,15 =e^-t½ +1.
e^-t½= 0,85.
-t½ =ln(0,85) = -0,1625
t½ = 0,1625 heures ou 2495 s ou 9 min 45 s.

Question 6 : On considère la fonction F définie sur [0; +∞[ par F(t) = 0,715 t + 0,715e^-t .
4.a. Vérifier que F est une primitive de f sur [0; +∞[.
On dérive F : F '(t) = 0,715 -0,715e^-t= f(t).
4.b. On admet que l’énergie stockée moyenne de la batterie sur [0; 3,5] est égale à : m = 1 / 3,5 [F(3,5) − F(0)]. Cette énergie stockée moyenne est-elle égale à la moitié de l’énergie stockée maximale ? Justifier la réponse.
F(3,5) - F(0) = 0,715 x 3,5 +0,715 e^-3,5 -0,715 e⁰=2,5025+0,0216-0,715=1,81.
m = 1,81 / 3,5 ~0,52.
0,52 diffère de 0,715 / 2.
Cette énergie stockée moyenne n'est pas égale à la moitié de l’énergie stockée maximale.