Mathématiques, bac STL 2021.

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Pour les questions 1 et 2, on considère la fonction suivante : Soit 𝑔 la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +oo[ par :
g(x) = (2x-1) e-x.
 1. Calculer g(0).
g(0) = (2*0-1)e-0 =-1 x1 = -1.
 2. On admet que la fonction g est dérivable sur l’intervalle [0 ; +oo[ et on note g' sa fonction dérivée.
2. a. Montrer que, pour tout réel x appartenant à [0 ; +oo[, g ′ (𝑥) = (−2x + 3)𝑒 −𝑥.
On pose u = 2x-1 et v = e-x. u' = 2 ; v' = -e-x.
g' (x) =u'v+v'u =2e-x-(2x-1)e-x = e-x(2-2x+1) =(−2x + 3)𝑒 −𝑥.
  2. b. Justifier que g(x) < 2 e-1,5  pour x >1,5.
g'(x) = 0 si x = 1,5. g(1,5) = 2e-1,5.
g'(x) > 0 si x appartient à [0 ; 1,5 [ et g(x) est strictement croissante.
g'(x) < 0 si x appartient à ]1,5 ; +oo [ et g(x) est strictement décroissante de 2e-1,5 à zéro.
La fonction g(x) est continue car dérivable ; elle est strictement
décroissante de 2e-1,5 à zéro sur ]1,5 ; +oo [.
Donc g(x) < 2 e-1,5  pour x >1,5.
3. Sachant que cos (9p /5)= (√5+1) / 4 , exprimer cos ( p/  5 ) en fonction de √5.
9p /5 = 10 p / 5-p /5 = 2p-p /5.
cos (9p /5)= cos(2 p-p /5) = cos (-p /5) = cos(p /5).
cos (p /5)= (√5+1) / 4.
 4. On considère l’intégrale I suivante :
Montrer que  I = 2.
Primitive de 2x-1 : F(x) = x2-x.
I = F(2) -F(0) = 22-2-0 = 2.
 5.Simplifier le nombre suivant en détaillant les calculs :
 A = 5 ln(e3)-4 ln(1 / e2).
ln(e3) = 3 ln(e) = 3.
ln(1 / e2)= -ln(e2) = -2 ln(e) = -2.
A = 5 *3-4*(-2) = 15 +8 =23.
6. ABCD est un carré de côté 3 cm et DCE est un triangle rectangle et isocèle en C. Donner la valeur du produit scalaire suivant :

EB = 6 ; ED = 3 / sin 45 =3 x2½.
Le produit scalaire vaut : EB x ED cos 45 =6 x3 x2½ x 2½ / 2 =18.
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