Refroidissement d'un lait, le son de la guitare, mathématiques, bac STI2D Métropole 2022.

Afin d’étudier l’évolution de la température d’une masse de liquide en contact avec l’atmosphère d’une pièce en fonction du temps, l’expérience suivante est réalisée. Une masse de lait écrémé m = 150 g est chauffée à une température de 63,4 °C. On laisse ensuite le lait se refroidir à l’air libre en relevant sa température toutes les minutes. Pendant toute la durée de l’expérience, la température de l’air de la pièce reste constante et inférieure à celle du lait.

1. Citer les trois modes de transferts thermiques.
Conduction, rayonnement et convection.
2. Préciser, en le justifiant, le sens du transfert thermique entre la masse de lait et l’air de la pièce.
Transfert du corps chaud, le lait, vers l'air de la pièce ( corps le plus froid).
3. Calculer, d’après les résultats expérimentaux, la valeur du transfert thermique Q entre la masse de lait et l’air de la pièce entre les dates 𝑡 = 1 min (61,7 °) et 𝑡 = 2 min (60,2°C). Sans calcul, préciser si la valeur du transfert thermique est plus petite ou plus grande que 𝑄 entre les dates 𝑡 = 6 min et 𝑡 = 7 min.
Capacité thermique massique du lait C = 4,0 kJ kg^-1 K^-1.
Q = mC Dq =0,15 x 4,0 x(60,2-61,7)= -0,9 kJ.
Entre les dates t =6 min et t = 7 min, |Q| sera plus faible car l'intervalle de température est plus petit.

La température du lait, exprimée en degré Celsius, en fonction du temps t, exprimé en minute, est modélisée par la fonction T définie sur [0; +∞[ par : T(t)) = 37×exp( − 20 t/ 459) + 26,4.
4. Calculer T(0) et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
T(0) = 37 +26,4 =63,4 °C, température initiale du lait.
5. Déterminer la limite de T en plus l'infini. Selon ce modèle, quelle est la température de l’air de la pièce ? Justifier.
Le terme en exponentielle tend vers zéro et le lait a la température de la pièce soit 26,4°C.
6. Selon ce modèle, au bout de combien de temps la température du lait vaut-elle 40°C ? Donner le résultat en minute et seconde.
40 =37×exp( − 20 t/ 459) + 26,4.
13,6 =37×exp( − 20 t/ 459).
13,6 / 37 =0,368 =exp( − 20 t/ 459).
ln(0,368) = -1,00=− 20 t/ 459.
20t = 459 ; t = 459 /20 =22 min 57 s.

Le son de la guitare.
1. Les cordes de guitare
Les cordes de guitare sont un élément essentiel pour la production du son. C'est la vibration de celles-ci qui est transformée en signal électrique par les micros de la guitare. Ainsi les cordes sont le plus souvent en alliage de fer pour pouvoir interagir avec les aimants présents dans les micros. A l'air libre les cordes s'oxydent progressivement car elles sont le siège de réactions d'oxydoréduction. Dans l’air humide, du fait de la condensation, la transformation chimique peut être modélisée à l’aide des deux demi-équations électroniques suivantes :
Fe(s) +2HO^- (aq) = Fe(OH)₂(s) + 2 e^-.
O₂(g) + 2 H₂O(l) + 4 e^-= 4 HO^- (aq)
1.1. À partir des deux demi-équations proposées, écrire l'équation de la réaction d'oxydoréduction qui modélise la transformation chimique subie par le fer contenu dans les cordes.
2Fe(s) +4HO^- (aq) = 2Fe(OH)₂(s) + 4 e^-.
O₂(g) + 2 H₂O(l) + 4 e^-= 4 HO^- (aq)
Additionner et simplifier :
2Fe(s) +4HO^- (aq) +O₂(g) + 2 H₂O(l) + 4 e^-= 2Fe(OH)₂(s) + 4 e^-+ 4 HO^- (aq)
2Fe(s) +O₂(g) + 2 H₂O(l)= 2Fe(OH)₂(s) .
1.2. Montrer qu’il est justifié de considérer que le fer subit une oxydation dans cette transformation chimique.
Le fer libère des électrons, c'est un réducteur qui s'oxyde.
Afin de limiter cette oxydation, une des méthodes actuelles consiste à recouvrir la corde avec un enduit transparent très fin qui sert de revêtement à la corde.
1.3. Indiquer la propriété que doit posséder l’enduit pour éviter efficacement le phénomène d'oxydation.
L'enduit doit former une couche homogène imperméable au dioxygène de l'air.
Conséquences de l'oxydation des cordes sur le son d'une guitare.
En utilisant la même échelle verticale, on réalise le spectre d'amplitude d'une note jouée par une guitare électrique équipée de cordes neuves puis de cordes oxydées.
1.4. À partir du spectre obtenu pour la corde neuve, déterminer, en justifiant la fréquence fondamentale de la note jouée.
1.5. Indiquer la note jouée par la guitare.

1.6. Indiquer, en justifiant, si le son produit par la corde neuve a la même hauteur que celui produit par la corde oxydée.
Oui, les fréquences du fondamental sont identiques.
1.7. Préciser, en justifiant, quelle caractéristique du son produit par la guitare est modifiée selon que l’on utilise des cordes neuves ou oxydées.
Les harmoniques n'ont pas la même amplitude : le timbre est modifié.
2. Le câble reliant la guitare à l'amplificateur.
Les musiciens évoquent souvent l’influence du câble reliant la guitare à l’amplificateur sur le son obtenu. Selon eux, le câble provoquerait une diminution d’amplitude des harmoniques de hautes fréquences, produisant un son plus terne, moins riche en composantes aigues. Nous réalisons deux études afin de vérifier la pertinence de cette observation. Une première étude est réalisée sur un câble de guitare d'une longueur de 10 m, non relié à la guitare. Il s’agit de déterminer une éventuelle atténuation du signal électrique transporté par le câble. Une tension sinusoïdale de fréquence connue est délivrée par un générateur basses fréquences. À l'aide d'un oscilloscope, l'amplitude Ue de la tension en entrée du câble est comparée à l'amplitude Us de la tension en sortie du câble. On peut calculer alors l’affaiblissement R (en dB) subi par le signal lors de de son transport par le câble grâce à la relation suivante :
Ue / Us =10 ^{R /
20}
Les mesures de l’affaiblissement généré par le câble pour des signaux sinusoïdaux de fréquence comprise entre 500 Hz et 10 kHz permettent d’établir le graphe suivant.

2.1. Montrer qu'une valeur d’affaiblissement positif correspond à une atténuation du signal lors du passage dans le câble.
Si R est positif, Us = Ue x10 ^{-R /
20} ; 10 ^{-R /
20} < 1 et Us < Ue.
2.2. En considérant une tension d'entrée d’amplitude Ue = 20,0 mV, déterminer la tension de sortie dans les conditions de l'expérience, pour une valeur de l’affaiblissement R = 0,09. Commenter le résultat.
Us = Ue x10 ^{-R /
20} =20,0 x10^-0,0045=19,8 mV.
L'affaiblissement est très faible ( 1 %).
2.3. Exploiter la courbe ci-dessus pour déterminer si les propriétés électriques du câble seul peuvent expliquer une modification du timbre du son obtenu. Justifier la réponse.
Les propriétés électriques du câble seul peuvent pas expliquer à elles seules une modification du timbre du son obtenu, car l'affaiblissement est le même pour toutes les fréquences.
Cette première expérience ne prenant pas en compte le branchement de la guitare sur le câble et sur l’amplificateur, on réalise une seconde étude en connectant le câble, en entrée et en sortie, à des dipôles ayant respectivement des propriétés électriques semblables à celles de la guitare et de l’entrée de l’amplificateur. Pour isoler l’influence du câble, on réalise des mesures d’affaiblissement avec un câble très court puis avec le câble de 10 m. On obtient les graphiques ci-dessous.

2.4. En ne considérant que les fréquences pour lesquelles l’affaiblissement R a une valeur positive, indiquer si l’allure de ces graphiques est compatible avec les problèmes évoqués par les musiciens lors de l’utilisation d'un long câble.
L'affaiblissement est d'autant plus grand que le câble est long et que les fréquences sont plus élevées. En accord avec l'observation des musiciens.