Mathématiques, bac STI2D 2022.

1. Une entreprise réalise des bouchons par injection plastique. On modélise la température ( °C) d'un bouchon à l'issue de sa fabrication, en fonction du temps t ( seconde) par l'équation différentielle :
y' = -0,1 y +7. (E)
Montrer que la fonction f(t) = 80e^-0,1t +70 sut [0 ; +oo[ est solution de (E) vérifiant la condition initiale f(0) = 150.
f '(t) = -8 e^-0,1t.
Repport dans (E) : -8 e^-0,1t= -0,1 ( 80e^-0,1t +70 ) +7.
-8 e^-0,1t= -8e^-0,1t -7) +7 est vérifiée quel que soit le temps t.
f(0) =80e⁰ +70 = 80 +70 = 150.

2. Soit le nombre complexe z = -1 +i.
2.a. Montrer que z = 2^½ exp(i 3p/4).
Module de z : |z| = [(-1)² + 1²]^½ = 2^½.
z / |z| = -1 /2^½ + i / 2^½ = cos ( 3p/4) + i sin (3p /4).
z = 2^½ exp(i 3p/4).
2.b. Quelle est la partie imaginaire de z⁴ ? Justifier.
z⁴ = (2^½)⁴ exp( 3 p) =4 cos (3p) +i sin(3p) = -4.
La partie imaginaire de z⁴ est nulle.

3. Une voiture électrique dont l'accumulateur est totalement déchargé est branchée à une borne de recharge. L'énergie E (kWh) stockée par l'accumulateur peut être modélisée en fonction du temps (heure) par la fonction E(t) =18(1-e^-0,45t).
Cette voiture a une énergie de stockage limitée à 18 kWh.
Déterminer l'instant t arrondi à la minute, à partir duquel la moitié de cette énergie de stockage limite a été emmagasinée.
9 = 18(1-e^-0,45t).
0,5 = 1-e^-0,45t.
0,5 = e^-0,45t.
ln(0,5) = - ln(2) = -0,45t.
t = ln(2) / 0,45 ~1,54 heures ~1 h 33 min.

4. On considère la fonction f dérivable sur ]0 ; +oo[ dont la dérivée f ' est donnée par f '(x) = (-3x+2) / x.
Etudier la sens de variation de f sur cet intervalle.
f '(x) a le signe de -3x+2).
f '(x) >0 si x appartient à ]0 ; 2 /3[ et f(x) est strictement croissante.
f '(x) < 0 sur ]2 /3 ; +oo[ et f(x) est strictement décroissante.
f '(x) = 0 si x = 2 /3 et f(x) présente un maximum.

5. On considère l'équation 3 ln(x) -ln(x+30) = 2 ln(5) où x appartient à ]0 ; +oo[..
Donner parmi les 4 propositions suivantes, la solution de cette équation.
0 : e^-5 ; 10 ; 20.
ln(x³)-ln(x+30) = ln(2⁵).
ln(x³ / (x+30) = ln(32)
x³ / (x+30) =32.
x³ -32x -960 =0.
x = 0 nappartient pas à cet intervalle.
x = 10 : 3 ln(10) -ln(10+30) = ln(1000 / 40) = ln 25 = ln(5²) = 2 ln(5).

6. Une société utilise une nacelle élévatrice. On note h(t) la hauteur (m) de la nacelle à l'instant t (s).
h(t) = -15e^-0,2t +18 avec t appartenant à [0 ; +oo[.
a. Déterminer la hauteur initiale de la nacelle.
h(0) =-1e0+18 = -15+18 = 3 m.
b. Déterminer la limite en plus l'infini de h(t) et interpréter.
Le terme en exponentielle tend vers zéro et f(t) tend vers 18 m.
La hauteur maximale atteinte est égale à 18 m.