L’objectif
de l’exercice est d’étudier une condition sur la grandeur
température nécessaire pour le bon déroulement de la fermentation.
Pour cela, on réalise l’expérience qui consiste à mesurer l’évolution
de
la température du lait au cours du temps lors de la phase de
fermentation.
Description de l’expérience.
Le lait est chauffé puis versé dans un récipient contenant les deux
ferments. On mesure la
température du système {récipient + lait} à l’aide d’une sonde.
La température est relevée régulièrement au cours du temps à partir
d’une température initiale qui
sera notée T
0 jusqu’au retour à la température ambiante notée T
ext .
Lors de cette étude, le transfert thermique reçu par le système entre
les instants t et t +
Dt est noté
Q, il est modélisé par la loi de Newton :
Q = h × S × (T
ext - T(t)) ×
Dt
avec h le coefficient d’échange thermique surfacique, S l’aire de la
surface extérieure du récipient,
T
ext la température ambiante, T(t) la température du système {récipient
+ lait} et
Dt la durée. On
suppose
Dt faible devant la durée typique d’évolution de la température
du système étudié.
Q1. Déterminer le sens du transfert thermique dans cette expérience.
Justifier.
Le transfert thermique s'effectue du corps chaud ( le lait) vers le corps froid ( l'extérieur).
Q2. Exprimer la variation d’énergie interne
DU du système étudié entre
les instants t et t +
Dt en
fonction de sa capacité thermique C supposée constante, de la
température à l’instant t notée T(t)
et de celle à l’instant t +
Dt notée T(t +
Dt). En déduire le signe de
DU dans le cadre de cette
expérience.
DU = Q =C( T(t + Dt) -T(t))= h × S × (Text - T(t)) × Dt.
Text - T(t) < 0 donc DU < 0.
Q3. Établir l’équation différentielle suivante qui caractérise
l’évolution temporelle de la
température du système :
dT
/dt
+
T(t) /
t =
T
ext / t
où
t est la durée caractéristique de l’évolution de la température du
système dont on donnera
l’expression, en fonction de h, C et S.
C( T(t + dt) -T(t))= h × S × (Text - T(t)) × dt.
( T(t + dt) -T(t)) / dt = dT /dt =h × S / C × (Text - T(t)).
dT /dt + T(t) / t =
Text / t avec t = h S / C.
La solution de cette équation différentielle est de la forme : T(t) = (T
0 - T
ext) × exp(- t /
t) +T
ext.
Les valeurs expérimentales de la température en degré Celsius (y) et du temps en minutes (x) sont
correctement modélisées par une courbe d’équation :
y = 29 × exp(- x
/38) + 27.
Q4. Identifier les valeurs numériques des grandeurs physiques T
0, T
ext et
t dans le cadre de ce
modèle.
t =38 min. T
ext = 27°C.T
0 = 29+27=56°C.
Lors de la fermentation, grâce à leur action conjointe, les populations des deux bactéries
employées – Streptococcus thermophilus et Lactobacillus bulgaricus - croissent rapidement. Elles
transforment le lactose en acide lactique. Cette étape de fabrication est optimale à une température
comprise entre 42 °C et 45 °C et doit durer au minimum entre 3 et 4 heures.
Q5. Montrer que le processus de fermentation ne s’est pas réalisé correctement au cours de
l’expérience décrite ci-dessus.
42 = 29 × exp(- x
/38) + 27.
(42-27) / 29 =0,517 : x = -ln(0,517) x38 =25 min.
42 = 29 × exp(- x
/38) + 27.
(45-27) / 29 =0,621 : x = -ln(0,621) x38 =18 min.
25-18 = 7 min, valeur non comprise entre 3 et 4 heures..
Pour ralentir le refroidissement, il est possible d’utiliser des matériaux différents. Dans les mêmes
conditions, le système {récipient + lait} a cette fois-ci été enveloppé :
- dans une deuxième expérience, avec du carton ;
- dans une troisième expérience, avec du carton et une feuille d’aluminium intercalée entre le
système {récipient + lait} et l’enveloppe en carton.
Q6. À partir d’une
exploitation graphique effectuée sur le document donné , comparer les
durées caractéristiques d’évolution de la température du
système, associées à la deuxième et à la troisième expérience.
Q7. Interpréter qualitativement l’effet induit par la présence de la feuille d’aluminium.
La feuille d'aluminium diminue les échanges thermiques par rayonnement : la durée du refroidissement augmente.
Q8. Évaluer graphiquement la valeur de la durée optimale de fermentation dans le cas de la
troisième expérience. Conclure.
La durée de la fermentation est environ 18 min, ce qui est insuffisant.
Q9. Généralement, pour faire des yaourts maison, on utilise une yaourtière électrique. Expliquer.
La yaourtière chauffe le mélange lait + ferments afin de maintenir une
température optimale en compensant les pertes thermiques vers
l'extérieur.