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Un parapentiste, de masse m = 75,3 kg, vole à une altitude stabilisée de 2 450 m à
laquelle règne une température q = 10,8 °C considérée comme constante.
Pour simplifier, la température du parapentiste est supposée uniforme, c’est-à-dire
identique en tous points de son corps. Sa température évolue au cours du temps et sera
notée q(t).
Le parapentiste est naturellement réchauffé par de l’énergie produite par son métabolisme
et représentée par un flux constant : Pth = 116 W.
Les échanges thermiques entre l’air et le parapentiste sont de type conducto-convectifs.
Ils peuvent alors être modélisés par la loi phénoménologique de Newton F(t) = hS (qa – q(t)) avec S la surface de contact du parapentiste avec l’air et h le
coefficient de transfert thermique.
Données : coefficient de transfert thermique de l’air : h = 100 W·m-2·K-1
surface d’échange entre le parapentiste et l’air : S = 1,9 m2
capacité thermique massique du corps humain : c = 3,5 × 103 J·kg-1·K-1
l'hypothermie est un phénomène au cours duquel une baisse anormale de la
température d'un être vivant homéotherme (« à sang chaud ») ne permet plus
d'assurer correctement ses fonctions vitales. Pour l’être humain :
− de 34 à 35 °C, l’hypothermie est modérée ;
− de 30 à 34 °C, hypothermie est moyenne ;
− en dessous de 30 °C, hypothermie est grave.
1. Après avoir indiqué le sens du transfert thermique entre l’air et le parapentiste,
démontrer, en expliquant précisément le raisonnement, la relation :
DU = Pth dt +F xDt.
DU est la variation d’énergie interne du parapentiste pendant une durée
suffisamment courte Dt.
DU =Q + W ( W=0, pas de travail).
DU =(énergie produite par le métabolisme + énergie perdue avec l'air) pendant la durée dt..
DU =Pthdt +F xDt.
2. Montrer que la température, supposée uniforme, q(t) du parapentiste vérifie l’équation
différentielle suivante :
dq/dt +q / t = qair / t +Pth / (mc).avec t = 1,4 × 103 s
Donner l’expression littérale de t et vérifier sa valeur fournie ci-dessus.
On considère qu’à t = 0, q(0) = 37 °C à 2 450 m.
La température de l’air à cette altitude est de qair = 10,8 °C.
Q = m C dq(t).
Q = Pthdt + hS (qair – q(t)).
m C dq(t) =Pthdt + hS (qair – q(t)).
dq(t) / dt +hS /(mC)q(t) =Pth /(mc) +hS / (mC) qair .
On pose t = mC / (hS) = 75,3 x 3,5 103 / (100 x1,9) =1,4 103 s.
3. Montrer que l’expression de la température du système en fonction du temps a pour
expression :
q(t) = 25,6 exp( -t / 1400) + 11,4.
dq/dt +q / 1400 = 10,8 / 1400 +116 / (75,3 x3500).
dq/dt +q / 1400 =8,15 10-3.
dq/dt = -25,6 /1400 exp( -t / 1400)= -1,83 10-2 exp( -t / 1400).
Repport dans l'équation différentielle :
-1,83 10-2 exp( -t / 1400) +25,6 /1400exp( -t / 1400) + 11,4/1400=3,84 10-3.
-1,83 10-2 exp( -t / 1400) +1,83 10-2 exp( -t / 1400) + 11,4/1400=8,15 10-3.
Cette relation étant vérifiée, q(t) = 25,6 exp( -t / 1400) + 11,4.
4. Déterminer la durée maximale de vol envisageable avant d’atteindre l’hypothermie
grave. Commenter en critiquant les hypothèses retenues.
25,6 exp( -t / 1400) + 11,4 < 30.
25,6 exp( -t / 1400) < 18,6.
exp( -t / 1400) < 18,6 / 25,6 =0,73.
-t / 1400 < ln(0,73).
t > 440 s ( 7 min).
Cela paraît peu vraissemblable.
La température du parapentiste n'est pas uniforme.
Le flux produit par le métabolisme n'est pas constant.
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