Un capteur capacitif, bac Polynésie 2022.

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Etude théorique de la charge d'un dipôle RC.
On réalise le circuit ci-dessous.

L'interrupteur est initialement ouvert et le condensateur est déchargé. A l'instant t = 0, on fere l'interrupteur.
1.Etablir une relation entre les tensions.
E = uR + uC.
2. Ecrire l'expression de la loi d'Ohm pour le conducteur ohmique.
uR = Ri.
3. Ecrire l'expression reliant le courant  d'intensité i, la tension uC et la capacité C du condensateur.
q = C uC et i = dq / dt =  C duC /dt
4. En déduire que l'équation différentielle régissant l'évolution de uC s'écrit :.
duC / dt +uC / (RC) = E / (RC).
E = RC duC /dt + uC.
E / (RC) = duC /dt + uC / (RC).
5. Vérifier que la solution de cette équation est de la forme uC = E(1-exp(-t /(RC)).
On dérive : duC /dt = E /(RC) exp (-t / (RC).
RC duC/dt =E exp(-t /(RC).
Repport dans l'équation :
E = E(1-exp(-t /(RC)) +  E  exp (-t / (RC) = E est vérifiée quel que soit le temps.

Etude expérimentale de la charge d'un dipole RC.
On réalise expérimentalement le montage précédent.
R = 330 ohms.
On relève les valeurs de la tension uC.
6. Déterminer graphiquement la valeur du temps caractéristique.


7. Ecrire l'expression reliant le temps caractéristique t, R et C.
t = RC.
8. En déduire C.
15 10-9 = 330 C ; C = 15 10-9 / 330 =4,5 10-11 F.
   

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 Etude d'un condensateur à capacité variable.
Ce condensateur peut être réalisé avec un condensateur plan comportant une armature fixe et une armature mobile. Les armatures sont des plaques métalliques séparées par un isolant.
C = e S / d.
e : permittivité de l'isolant.
S : surfacedes armatures.
d : distance des armatures.
9. C s'exprimme en farad F. Déterminer l'unité de e.
e = C d / S.
d s'exprime en mètre et S en m2.
e s'exprime en F m-1.
10. S et e étant constants, on rapproche l'armature mobile. Décrire l'évolution de C.
Si d diminue, S et e étant constants, la capacité augmente.

Réalisation d'un capteur de position.
On souhaite coller deux plaques métalliques et contrôler l'épaisseur  de colle entre les plaques. Les deux plaques peuvent constituer les armatures et la colle l'isolant de permittivité connue.
On utilise le circuit capacitif suivant :

11. Expliquer comment utiliser ce montage pour contrôler l'épaisseur de colle.
La permitivité est connue ; mesurer les dimensions des plaques et calculer leur surface S.
Faire l'étude de la charge du condensateur comme ci-dessus et en déduire C.
Par suite d = e S / C.

  
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