Mathématiques,
géométrie, Bac Polynésie
2022.
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L’espace est rapporté un repère orthonormal où l’on considère :
les points A(2 ; −1 ; 0) B(1 ; 0 ; −3), C(6 ; 6 ; 1) et E(1 ; 2 ; 4);
Le plan P d’équation cartésienne 2x − y − z +4 = 0.
1. a. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
AB 2 =(1-2) 2 +(0-(-1)) 2+(-3-0) 2 =11.
AC2 =(6-2)2 +(6-(-1))2+(1-0)2 =66.
BC2 =(6-1)2 +(6-0)2+(1-(-3))2 =77.
BC2 =AC2 +
AB2 .
b. Calculer le produit scalaire suivant puis les longueurs BA et BC.
c. En déduire la mesure en degrés de l’angle ABC arrondie au degré.
 2. a. Démontrer que le plan P est parallèle au plan (ABC).
b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
2x − y − z +d = 0.
A(2 ; -1 ;0) appartient au plan ABC : 2*2-(-1)-0+d = 0 ; d = -5.
2x − y − z -5= 0.
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D orthogonale au plan
(ABC) et passant par le point E.
Coordonnées d'un vecteur directeur de la droite (D) : (2 ; -1 ; -1).
Par suite x = 2t+x E =2t+1.
y = -t+y E =-t+2.
z = -t+z E = -t+4 avec t réel.
d. Démontrer que le projeté orthogonal H du point E sur le plan (ABC) a pour
coordonnées (
4 ;
1
/2
;
5/
2 )
.
Le point H appartient au plan (ABC) et à la droite D.
2x H-y H-z H-5=0.
x H = 2t+1 ; y H = -t+2 ; z H = -t+4.
2(2t+1) -(-t+2)-(-t+4)-5 = 0.
6t= 9 t = 1,5.
x H =2 *1,5+1 = 4 ; y H =-1,5 +2 = 0,5 ; z H = -1,5 +4 = 2,5.
3. On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par V =
1
/3
Bh où B désigne l’aire
d’une base et h la hauteur de la pyramide associée à cette base.
Calculer l’aire du triangle ABC puis démontrer que le volume de la pyramide à ABCE
est égal à 16,5 unités de volume.
Aire du triangle ABC : AB x AC / 2 = 11 ½ x66 ½ / 2 =5,5 x6 ½.
h = HE =[(1-4) 2+(2-0,5) 2+(4-2,5) 2] ½ =13,5 ½=(27 /2) ½ = 3* (3 /2) ½.
V= 5,5 x6½x3 *(3/2)½ / 3=5,5 x3=16,5 unités de volume.
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On
considère le cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1.
L’espace est muni du repère orthonormé.. Le point I est le milieu du
segment [EF], K le centre du carré ADHE et O le milieu du segment [AG].
Le but de l’exercice est de calculer de deux manières différentes, la distance du point B au plan
(AIG).
Partie 1. Première méthode
1. Donner, sans justification, les coordonnées des points A, B, et G.
A(0 ; 0; 0) origine du repère.
B(1 ; 0 ; 0) ; G( 1 ; 1 ; 1).
On admet que les points I et K ont pour coordonnées I(
1
/2
; 0 ; 1)
et K(
0 ;
1/
2
;
1/
2 )
.
2. Démontrer que la droite (BK) est orthogonale au plan (AIG).
Coordonnées d'un vecteur directeur de la droite (BK) : ( -1 ; 0,5 ; 0,5) ou encore (2 ; -1 ; -1)..
3. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (AIG) est : 2x − y − z = 0.
-x +0,5y +0,5z +d=0
A(0 ; 0 ; 0) appartient à ce plan; par suite d = 0.
-x+0,5y +0,5z = 0 soit en multipliant par -2 : 2x-y-z=0.
4. Donner une représentation paramétrique de la droite (BK).
x = -t +xB =-t+1.
y = 0,5 t +yB = 0,5 t.
z = 0,5 t+zB = 0,5 t.
5. En déduire que le projeté orthogonal L du point B sur le plan (AIG) a pour coordonnées
L
(1
/3
;
1/
3
;
1
/3 ).
L appartient au plan (AIG) et à la droite (D) :
2xL-yL-zL=0.
xL=-t+1 ; yL=0,5t ; zL=0,5 t.
2(-t+1)-0,5t -0,5t = 0
3t =2 ; t = 2 /3.
xL = -2/3 +1=1/3 ; yL = 0,5 x2/3 = 1 /3 ; zL = 0,5 x2/3 = 1 /3.
6. Déterminer la distance du point B au plan (AIG).
BL = [(1/3-1)2+(1/3)2+(1/3)2 ]½ =(6 /9)½ =( 2 /3)½.
Partie 2. Deuxième méthode
On rappelle que le volume V d’une pyramide est donné par la formule V =
1
/3
×b ×h, où b est
l’aire d’une base et h la hauteur associée à cette base.
1. a. Justifier que dans le tétraèdre ABIG, [GF] est la hauteur relative à la base AIB.
b. En déduire le volume du tétraèdre ABIG.
h = GF = 1.
Base = aire du triangle AIB= 0,5 x aire d'une face du carré = 0,5.
V = 1 x0,5 / 3 = 1 / 6 unité de volume.
2. On admet que AI = IG = 5½ /
2
et que AG =3½.
Démontrer que l’aire du triangle isocèle AIG est égale à 6½/
4
unité d’aire.
2 x aire du triangle rectangle AOI = 0,5 AG xOI.
O( ½xG ; ½yG ; ½zG) soit (0,5 ; 0,5 ; 0,5).
OI =(02 +0,52 +0,52)½ = 1/ 2½ .
Aire du triangle AIG =0,5 x3½x1 / 2½=3½ /(2 *2½)=6½ / 4 unités d'aire.
3. En déduire la distance du point B au plan (AIG).
Volume du tétraèdre ABIG = 1 /3 Aire du triangle AIG x BL =1 / 3 x 6½ /4 xBL=1/ 6.
BL = 2 / 6½ = 2½ x2½ / (2½x3½) =( 2 /3)½.
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