Mathématiques,suites, fonctions, Bac Métropole Antilles 2022.

Dans le cadre d’un essai clinique on envisage deux protocoles de traitement d’une maladie. L’objectif de cet exercice est d’étudier, pour ces deux protocoles, l’évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d’un patient en fonction du temps. Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A : Étude du premier protocole
Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient. On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en mg, par la fonction f définie sur l’intervalle [0; 10] par
f (t) = 3te ^−0,5t+1 , où t désigne le temps, exprimé en heure, écoulé depuis la prise du comprimé.
1. a. On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [0; 10] et on note f ′ sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout nombre réel t de [0; 10], on a : f ′ (t) = 3(−0,5t +1)e^−0,5t+1.
On pose u = 3t et v = e^-0,5t+1 ; u' = 3 ; v' = -0,5e^-0,5t+1 ;
u'v+v'u = 3e^-0,5t+1 -1,5t e^-0,5t+1 = 3(−0,5t +1)e^−0,5t+1.
b. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [0; 10].
3 e^-0,5t+1 est positif ; la dérivée a le signe de -0,5 t+1.
Si 0 < t < 2, f '(t) > 0 et f(t) est croissante.
Si 2 < t < 10, f '(t) < 0 et f(t) est décroissante.
Si t = 2, f '(t) =0 et f(t) présente un maximum f(2) = 6.

c. Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera-t-elle maximale ? Quelle est alors cette quantité maximale ?
Au bout de 2 heures, la quantité est maximale égale à 6 mg.
2. a. Montrer que l’équation f (t) = 5 admet une unique solution sur l’intervalle [0; 2] notée a, dont on donnera une valeur approchée à 10⁻² près.
Sur l'intervalle [0 ; 2] la fonction est continue et strictement croissante à valeurs dans [0 ; 6]. 5 appartient à cet intervalle.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(t) = 5 admet une solution unique.
La calculatrice donne a ~1,02.
On admet que l’équation f (t) = 5 admet une unique solution sur l’intervalle [2; 10], notée β, et qu’une valeur approchée de β à 10⁻² près est 3,46.
b. On considère que ce traitement est efficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5 mg. Déterminer, à la minute près, la durée d’efficacité du médicament dans le cas de ce protocole.
t appartient à [ a ; ß] soit t = 3,46 -1,02 = 3,44 h ou 3 h et 26 minutes.

Partie B : Étude du deuxième protocole
Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqûre intraveineuse, une dose de 2 mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de 1,8 mg. On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu’il est ensuite progressivement éliminé. On estime que lorsqu’une heure s’est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de 30 % par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection. On modélise cette situation à l’aide de la suite (u_n) où, pour tout entier naturel n, un désigne la quantité de médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l’injection de la n-ième heure. On a donc u₀ = 2.
1. Calculer, selon cette modélisation, la quantité u₁, de médicament (en mg) présente dans le sang du patient immédiatement après l’injection de la première heure.
u₁ = 0,7 u₀+1,8 =0,7 x 2 +1,8 =3,2 mg.
2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : u_n+1 = 0,7u_n +1,8.
u_n : quantité de médicament dans le sang à la n-ième heure.
Une heure plus tard, il reste 0,7 u_n mg de médicament dans le sang.
Enfin on injecte 1,8 mg de médicament dans le sang.
3. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : u_n < u_n+1 < 6.
Initialisation : u₁ = 3,2 et u₀ = 2. La propriété est vraie au rang 1.
Hérédité : u_n < u_n+1 < 6 est supposée vraie.
0,7 u_n < 0,7 u_n+1 < 6x 0,7 = 4,2.
0,7 u_n+1,8 < 0,7 u_n+1 +1,8 <4,2 +1,8 = 6.
u_n+1 < u_n+2 < 6. La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n.
b. En déduire que la suite (u_n) est convergente.
La suite est croissante et majorée par 6, donc d'après le théorème de convergence monotone, elle converge.
On note ℓ sa limite.
c. Déterminer la valeur de ℓ. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
A la limite : u_n =u_n+1= l ; l = 0,7 l +1,8 ; l =6.
4. On considère la suite (v_n) définie, pour tout entier naturel n, par v_n = 6−u_n.
a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,7 dont on précisera le premier terme.
v_n+1 = 6-u_n+1.
v_n+1 = 6- 0,7u_n -1,8= 4,2 -0,7 u_n = 0,7(6-u_n) =0,6 v_n.
La suite (v_n) est géométrique de raison q = 0,7 et de premier terme v₀ = 6-u₀ = 4.
b. Déterminer l’expression de v_n en fonction de n, puis de u_n en fonction de n.
v_n = 4 x0,7ⁿ ; u_n = 6-v_n = 6-4 x0,7ⁿ.
c. Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5,5 mg. Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d’injections réalisées en appliquant ce protocole.
6-4 x0,7ⁿ > 5,5 ; 0,5 > 4 x0,7ⁿ ; 0,5 / 4 = 0,125 > 0,7ⁿ ;
ln(0,125) > n ln(0,7).
n > ln(0,125) / ln (0,7) ; n > 6 heures.
Soit un total de 7 injections.

QCM.
1. La courbe représentative de la fonction f définie sur R par f (x) = (−2x² +3x −1 ) / (x² +1) admet pour asymptote la droite d’équation :
a. x = −2 ; b. y = −1 ; c. y = −2 ; d. y = 0 2.
Mettre x2 en facteur commun et simplifier :
f(x) = (-2 +3/x-1/x²) /(1+1/x²).
Quand x tend vers plus l'infini, 1 /x et 1 /x² tendent vers zéro. Par suite f(x) tend vers -2.
La droite d'équation y =-2 est asymptote à la courbe représentant la fonction f.

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x exp( x ²) . La primitive F de f sur R qui vérifie F(0) = 1 est définie par :
a. F(x) = 0,5x² exp(x²) ; b. F(x) = 0,5 exp(x²) ; c. F(x) =( 1+2x² ) exp(x²) ; d. F(x) = 0,5 + 0,5 exp(x²) .
F(0) = 1, donc les propositions a et b ne conviennent pas.
On dérive F(x) =( 1+2x² ) exp(x²) en posant u = 1+2x² et v = exp(x²).
u' = 4x ; v' = 2x exp(x²).
u'v +v'u = exp(x²) (4x+2x(1+2x²), diffère de f(x).
On dérive F(x) =0,5+0,5 exp(x²) ; F '(x) =0,5 *2x exp(x²) = x exp(x²) = f(x)

3. On donne ci-contre la représentation graphique Cf ′ de la fonction dérivée f ′ d’une fonction f définie sur R. On peut affirmer que la fonction f est :
a. concave sur ]0 ; +∞[ ; b. convexe sur ]0 ; +∞[ ; c. convexe sur [0; 2] ; d. convexe sur [2 ; +∞[.

f ' est croissante si x appartient à ] -oo ; 3 ] et décroissante sur [3 : +oo[.
f " est donc positive sur ] -oo ; 3 ] et négative sur [3 : +oo[.
f est convexe sur ] -oo ; 3 ] donc sur [0 ; 2].

4. Parmi les primitives de la fonction f définie sur R par f (x) = 3exp(−x ²) +2 :
a. toutes sont croissantes sur R ; b. toutes sont décroissantes sur R ;
c. certaines sont croissantes sur R et d’autres décroissantes sur R ;
d. toutes sont croissantes sur ] − ∞ ; 0] et décroissantes sur [0 ; +∞[.
f(x) est positive sur R ; les primitives de la fonction f , ont pour dérivée f.
Donc les fonctions primitives sont croissantes sur R.

5. La limite en +∞ de la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = 2lnx / (x ² +1) est égale à :
a. 2 / 3 ; b. +∞ ; c. −∞ ; d. 0.
f(x) = ln (x² )/ (x²+1). Mettre x² en facteur commun est simplifier :
f(x) =[ln(x² / x² ] / (1+1/x²).
En plus l'infini, par croissance comparée ln(x² / x² ] tend vers zéro et 1 /x² tend vers zéro.
6. L’équation e^2x +e^x −12 = 0 admet dans R : a. trois solutions ; b. deux solutions ; c. une seule solution ; d. aucune solution.
On pose X = e^x >0.
X² +X=12=0.
Discriminant D =1² -4(-12) = 49 = 7².
On retient la solution positive X₁ =(-1+7) / 2 = 3 soit x = ln(3).