Mathématiques, suites, fonctions, Bac Métropole Antilles 2022.

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Dans le cadre d’un essai clinique on envisage deux protocoles de traitement d’une maladie. L’objectif de cet exercice est d’étudier, pour ces deux protocoles, l’évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d’un patient en fonction du temps. Les parties A et B sont indépendantes.
 Partie A : Étude du premier protocole
Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient. On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en mg, par la fonction f définie sur l’intervalle [0; 10] par
 f (t) = 3te −0,5t+1 , où t désigne le temps, exprimé en heure, écoulé depuis la prise du comprimé.
1. a. On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [0; 10] et on note f ′ sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout nombre réel t de [0; 10], on a : f ′ (t) = 3(−0,5t +1)e−0,5t+1 .
On pose u = 3t et v = e-0,5t+1 ; u' = 3 ; v' = -0,5e-0,5t+1 ;
u'v+v'u = 3
e-0,5t+1 -1,5t e-0,5t+1 = 3(−0,5t +1)e−0,5t+1 .
 b. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [0; 10].
3 e-0,5t+1 est positif ; la dérivée a le signe de -0,5 t+1.
Si 0 < t < 2, f '(t) > 0 et f(t) est croissante.
Si 2 < t < 10, f '(t)  < 0 et f(t) est décroissante.
Si t = 2, f '(t) =0 et f(t) présente un maximum f(2) = 6.

c. Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera-t-elle maximale ? Quelle est alors cette quantité maximale ?
Au bout de 2 heures, la quantité est maximale égale à 6 mg.
 2. a. Montrer que l’équation f (t) = 5 admet une unique solution sur l’intervalle [0; 2] notée a, dont on donnera une valeur approchée à 10−2 près.
Sur l'intervalle [0 ; 2] la fonction est continue et strictement croissante à valeurs dans [0 ; 6]. 5 appartient à cet intervalle.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(t) = 5 admet une solution unique.
La calculatrice donne a ~1,02.
On admet que l’équation f (t) = 5 admet une unique solution sur l’intervalle [2; 10], notée β, et qu’une valeur approchée de β à 10−2 près est 3,46.
 b. On considère que ce traitement est efficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5 mg. Déterminer, à la minute près, la durée d’efficacité du médicament dans le cas de ce protocole.
t appartient à [ a ; ß] soit t = 3,46 -1,02 = 3,44 h ou 3 h et 26 minutes.

Partie B : Étude du deuxième protocole
Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqûre intraveineuse, une dose de 2 mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de 1,8 mg. On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu’il est ensuite progressivement éliminé. On estime que lorsqu’une heure s’est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de 30 % par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection. On modélise cette situation à l’aide de la suite (un) où, pour tout entier naturel n, un désigne la quantité de médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l’injection de la n-ième heure. On a donc u0 = 2.
1. Calculer, selon cette modélisation, la quantité u1, de médicament (en mg) présente dans le sang du patient immédiatement après l’injection de la première heure.
u1 = 0,7 u0+1,8 =0,7 x 2 +1,8 =3,2 mg.
 2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 = 0,7un +1,8.
un : quantité de médicament dans le sang à la n-ième heure.
Une heure plus tard, il reste 0,7 un mg de médicament dans le sang.
Enfin on injecte 1,8 mg de médicament dans le sang.
 3. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un < un+1 < 6.
Initialisation : u1 = 3,2 et u0 = 2. La propriété est vraie au rang 1.
Hérédité : un < un+1 < 6 est supposée vraie.
0,7 un < 0,7 un+1 <  6x 0,7 = 4,2.
0,7 un+1,8  < 0,7 un+1 +1,8 <4,2 +1,8 = 6.
un+1 < un+2 < 6. La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n.
 b. En déduire que la suite (un) est convergente.
La suite est croissante et majorée par 6, donc d'après le théorème de convergence monotone, elle converge.
On note ℓ sa limite.
c. Déterminer la valeur de ℓ. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
A la limite : un =un+1= ; l = 0,7 l +1,8 ; l =6.
 4. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = 6−un.
a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,7 dont on précisera le premier terme.
vn+1 = 6-un+1.
vn+1 = 6- 0,7un -1,8= 4,2 -0,7 un = 0,7(6-un) =0,6 vn.
La suite (vn) est géométrique de raison q = 0,7 et de premier terme v0 = 6-u0 = 4.

b. Déterminer l’expression de vn en fonction de n, puis de un en fonction de n.
vn = 4 x0,7n ; un = 6-vn = 6-4 x0,7n.
c. Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5,5 mg. Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d’injections réalisées en appliquant ce protocole.
6-4 x0,7n > 5,5 ; 0,5 > 4 x0,7n ; 0,5 / 4 = 0,125 > 0,7n ;
ln(0,125) > n ln(0,7).
n > ln(0,125) / ln (0,7) ; n > 6 heures.
Soit un total de 7 injections.

QCM.
1. La courbe représentative de la fonction f définie sur R par f (x) = (−2x 2 +3x −1 ) / (x 2 +1) admet pour asymptote la droite d’équation :
 a. x = −2 ; b. y = −1 ; c. y = −2 ; d. y = 0 2.
Mettre x2 en facteur commun et simplifier :
f(x) = (-2 +3/x-1/x2) /(1+1/x2).
Quand x tend vers plus l'infini, 1 /x et 1 /x2 tendent vers zéro. Par suite f(x) tend vers -2.
La droite d'équation y =-2 est asymptote à la courbe représentant la fonction f.

 Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x exp( x 2) . La primitive F de f sur R qui vérifie F(0) = 1 est définie par :
 a. F(x) = 0,5x 2 exp(x2) ; b. F(x) =  0,5 exp(x2)  ;  c. F(x) =( 1+2x 2  exp(x2) ; d. F(x) = 0,5 + 0,5 exp(x2) .
F(0) = 1, donc les propositions a et b ne conviennent pas.
On dérive
F(x) =( 1+2x 2 exp(x2)  en posant u = 1+2x 2 et v = exp(x2).
u' = 4x ; v' = 2x
exp(x2).
u'v +v'u = exp(x2) (4x+2x(1+2x2), diffère de f(x).
On dérive F(x) =0,5+0,5 exp(x2) ; F '(x) =0,5 *2x exp(x2) = x exp(x2) = f(x)

 3. On donne ci-contre la représentation graphique Cf ′ de la fonction dérivée f ′ d’une fonction f définie sur R. On peut affirmer que la fonction f est :
a. concave sur ]0 ; +∞[ ; b. convexe sur ]0 ; +∞[ ; c. convexe sur [0; 2] ; d. convexe sur [2 ; +∞[.

f ' est croissante si x appartient à ] -oo ; 3 ] et décroissante sur [3 : +oo[.
f " est donc positive sur ] -oo ; 3 ] et négative sur [3 : +oo[.
f est convexe sur
] -oo ; 3 ] donc sur [0 ; 2].

4. Parmi les primitives de la fonction f définie sur R par f (x) = 3exp(−x 2) +2 :
a. toutes sont croissantes sur R ; b. toutes sont décroissantes sur R ;
 c. certaines sont croissantes sur R et d’autres décroissantes sur R ;
d. toutes sont croissantes sur ] − ∞ ; 0] et décroissantes sur [0 ; +∞[.
f(x) est positive sur R ; les primitives de la fonction f , ont pour dérivée f.
Donc les fonctions primitives sont croissantes sur R.

 5. La limite en +∞ de la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = 2lnx / (x 2 +1) est égale à :
a. 2 / 3 ; b. +∞ ; c. −∞ ; d. 0.
f(x) = ln (x2 )/ (x2+1). Mettre x2 en facteur commun est simplifier :
f(x) =[ln(x2 / x2 ] / (1+1/x2).
En plus l'infini, par croissance comparée ln(x2 / x2 ] tend vers zéro et 1 /x2 tend vers zéro.
 6. L’équation e2x +e x −12 = 0 admet dans R : a. trois solutions ; b. deux solutions ; c. une seule solution ; d. aucune solution.
On pose X = ex >0.
X2 +X=12=0.
Discriminant D =12 -4(-12) = 49 = 72.
On retient la solution positive X1 =(-1+7) / 2 = 3 soit x = ln(3).
 

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QCM.
  Pour les questions 1 à 3 ci-dessous, on considère une fonction f définie et deux fois dérivable sur R. La courbe de sa fonction dérivée f ′ est donnée ci-dessous. On admet que f ′ admet un maximum en − 3/ 2 et que sa courbe coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (-0,5 ; 0).

 Question 1 : a. La fonction f admet un maximum en − 3 /2 ; b. La fonction f admet un maximum en − 1 / 2 ;
 c. La fonction f admet un minimum en − 1/ 2 ; d. Au point d’abscisse −1, la courbe de la fonction f admet une tangente horizontale.
f ' est positive sur ]-oo ; -0,5[ ; f(x) est croissante sur cet intervalle.
f ' est négative sur ]-0,5 ; +oo[ ; f(x) est décroissante sur cet intervalle.
f ' s'annule en x = -0,5 ; f(x) admet un maximum.

 Question 2 : a. La fonction f est convexe sur ] −∞ ; − 3/ 2 [ ; b. La fonction f est convexe sur ¸ ]−∞ ; − 1/ 2[ ;
c. La courbe Cf représentant la fonction f n’admet pas de point d’inflexion ; d. La fonction f est concave sur ] −∞ ; − 1 /2 | .
f ' est croissante sur ] −∞ ; − 3/ 2 [ et décroissante sur ]-3 / 2 ; +oo[.
Donc f " est positive sur ] −∞ ; − 3/ 2 [ et négative sur ]-3 / 2 ; +oo[.
f est convexe sur ] −∞ ; − 3/ 2 [.

Question 3 : La dérivée seconde f ′′ de la fonction f vérifie :
a. f ′′(x) > 0 pour x ∈ ] −∞ ; − 1/ 2 [ ; b. f ′′(x) > 0 pour x ∈ [−2 ; −1] ;  c. f ′′ (− 3/ 2) = 0 ; d. f ′′(−3) = 0.
f '(x)admet un maximum en x = -3/ 2; donc f " est nulle en x = -3 / 2.

 Question 4 : On considère trois suites (un), (vn) et(wn). On sait que, pour tout entier naturel n, on a : un < vn < wn et de plus :
  la limite en plus l'infini de un est égale à 1 ;
la limite en plus l'infini de wn est égale à 3.
. On peut alors affirmer que : a. la suite (vn) converge ; b. Si la suite (un) est croissante alors la suite (vn) est minorée par u0 ;
 c. 1 < v0 < 3; d. la suite (vn) diverge.
Si (un) est croissante, pour tout entier naturel, u0 < un < vn.
Donc la suite (vn) est minorée par u0.

Question 5 : On considère une suite (un) telle que, pour tout entier naturel n non nul : un < un+1 < 1 / n . On peut alors affirmer que :
 a. la suite (un) diverge; b. la suite (un) converge; c. la limite en +oo de (un) est nulle ;
d. la limite en +oo de (un) est égale à 1.
La suite est croissante.
Pour n différent de zéro : un < un+1 < 1 / n < 1.
La suite est croissante et majorée par 1, donc elle converge.

Question 6 : On considère (un) une suite réelle telle que pour tout entier naturel n, on a : n < un < n +1. On peut affirmer que :
 a. Il existe un entier naturel N tel que uN est un entier ; b. la suite (un) est croissante ;
c. la suite (un) est convergente; d. La suite (un) n’a pas de limite.
Au rang n, on a : n < un < n +1.
Au rang n+1, on a : n+1 < un+1 < un+2.
Donc un < n+1 < un+1 : la suite est croissante.
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  Etude de deux fonctions.
Partie A :
 On considère les deux fonctions f et g définies sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f (x) = 0,06( −x 2 +13,7x ) et g(x) = (−0,15x +2,2)e0,2x −2,2. On admet que les fonctions f et g sont dérivables et on note f ′ et g ′ leurs fonctions dérivées respectives. 1. On donne le tableau de variations complet de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.

a. Justifier la limite de f en +∞.
f (x) = 0,06x2( −1 +13,7 / x )
En plus l'infini :  13,7 / x tend vers zéro.
-1+13,7 /x tend vers -1 et x2 tend vers plus l'infini.
Par produit des limites, f(x) tyend vers moins l'infini.
-x2 tend vers moins l'infini si x tend vers plus l'infini.
 b. Justifier les variations de la fonction f .
f '(x) = 0,06 (-2x+13,7).
Si x < 13,7 / 2=6,85, f '(x) est positive et f(x) est croissante.
Si x >6,85, f '(x) est négative et f(x) est décroissante.
Si x = 6,85, f '(x) = 0 et f(x) présente un maximum.
 c. Résoudre l’équation f (x) = 0.
 −x 2 +13,7x = x(-x+13,7) = 0
 x =0 et x = 13,7.
2. a. Déterminer la limite de g en +∞.
e0,2x tend vers plus l'infini ; −0,15x +2,2 tend vers moins l'infini.
Par produit des limites, g(x) tend vers moins l'infini.
 b. Démontrer que, pour tout réel x appartenant à [0 ; +∞[ on a : g ′ (x) = (−0,03x +0,29)e0,2x .
On pose u =−0,15x +2,2 et v =e0,2x .
u' = -0,15 ; v' = 0,2 e0,2x .
u'v+v'u = e0,2x (-0,15 +0,2(-0,15x+2,2) =e0,2x(-0,03x+0,29).
 c. Étudier les variations de la fonction g et dresser son tableau de variations sur [0 ; +∞[. Préciser une valeur approchée à 10−2 près du maximum de g.
e0,2x >0. g'(x) a le signe de -0,03x +0,29.
Si x appartient à [0 ; 29 /3[, g'(x) est positive et g(x) est croissante.
Si x > 29 /3 , g'(x) est négative et g(x) est décroissante.
Si x = 29 /3, g('x) =0 et g(x) présente un maximum.

d. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution non nulle et déterminer, à 10−2 près, une valeur approchée de cette solution.
Sur [0 ; 29 /3], g(x) croît de zéro à 2,98.
Sur [29 /3 , +oo[ :
 g(x) décroît de 2,98 à moins l'infini.
g(x) est continue car dérivable.
Zéro appartient à ]-oo ; 2,98], daprès le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel unique a tel que g(a) =0.
a = 13,72.

Partie B : trajectoires d’une balle de golf.
 Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club » de golf. On souhaite exploiter les fonctions f et g étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d’une balle de golf. On suppose que le terrain est parfaitement plat. On admettra ici que 13,7 est la valeur qui annule la fonction f et une approximation de la valeur qui annule la fonction g. On donne ci-dessous les représentations graphiques de f et g sur l’intervalle [0; 13,7]].

 Pour x représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la frappe, (avec 0 < x < 13,7), f (x) (ou g(x) selon le modèle) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards (1 yard correspond à environ 0,914 mètre). On appelle « angle de décollage » de la balle, l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente à la courbe (Cf ou Cg selon le modèle) en son point d’abscisse 0. Une mesure de l’angle de décollage de la balle est un nombre réel d tel que tan(d) est égal au coefficient directeur de cette tangente. De même, on appelle « angle d’atterrissage » de la balle, l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente à la courbe (Cf ou Cg selon le modèle) en son point d’abscisse 13,7. Une mesure de l’angle d’atterrissage de la balle est un nombre réel a tel que tan(a) est égal à l’opposé du coefficient directeur de cette tangente. Tous les angles sont mesurés en degré. Le schéma illustre les angles de décollage et d’atterrissage associés à la courbe Cf Le schéma illustre les angles de décollage et d’atterrissage associés à la courbe Cg .
 Première modélisation : on rappelle qu’ici, l’unité étant la dizaine de yards, x représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et f (x) la hauteur correspondante de la balle. Selon ce modèle :
 a. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
Cf : f(6,85) ~2,815 soit 28,15 yards.
 b. Vérifier que f ′ (0) = 0,822.
f '(x) = 0,06 (-2x+13,7).
f '(0) = 0,06 *13,7=0,822.
 c. Donner une mesure en degré de l’angle de décollage de la balle, arrondie au dixième.
tan d = f '(0) =0,822 ; d =39,4 °.
 d. Quelle propriété graphique de la courbe Cf permet de justifier que les angles de décollage et d’atterrissage de la balle sont égaux ?
La trajectoire parabolique est symétrique par rapport à la droite d'équation x = 6,85.

2. Seconde modélisation : on rappelle qu’ici, l’unité étant la dizaine de yards, x représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et g(x) la hauteur correspondante de la balle. Selon ce modèle :
 a. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ? On précise que g ′ (0) = 0,29 et g ′ (13,7) ≈ −1,87.
Le maximum de la fonction g(x) est 2,98 soit 29,8 yards.
 b. Donner une mesure en degré de l’angle de décollage de la balle, arrondie au dixième.
tan d = g '(0) =0,29 ; d =16,2 °.
. c. Justifier que 62 est une valeur approchée, arrondie à l’unité près, d’une mesure en degré de l’angle d’atterrissage de la balle.
tan a = g'(13,7) = -1,87 ; a ~62°
Partie C : interrogation des modèles.
 À partir d’un grand nombre d’observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants :

 Angle de décollage en degré : 24 ;
 Hauteur maximale en yard  : 32.
Angle d’atterrissage en degré : 52 .
Distance horizontale en yard au point de chute : 137.
 Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel ? La réponse sera justifiée.
La distance horizontale est bien confirmée par les modèles.
L'angle de décollage est surestimé ( modèle 1) et sous-estimé ( modèle 2).
La hauteur maximale est sous-estimée par les 2 modèles.
L'angle de d'atterrissage est surestimé ( modèle 2) et sous-estimé ( modèle 1).
Ces modèles ne sont pas satisfaisant.



  
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